第二章 一元函数微分学及其应用..docVIP

PAGE PAGE 6 第二章 一元函数微分学及其应用 知识点拔 2.1 导数的概念 一、导数的概念 1、函数在点导数的定义 设函数在的某个邻域内有定义，给自变量以增量，而相应的函数增量为，若极限（或写成）存在，则称函数在点可导，并称此极限值为函数在点的导数. 记作：，且有 注释：① 函数在点可导必须满足两个条件： 、必须在点的某个邻域内有定义，如：在不可导，因在时无定义； 、极限必须存在，如：，由于极限不存在，所以在不可导. ② 函数在点可导，不能保证函数在点的邻域内可导. 如： 在点处可导，且，但在时它不可导， 也就是说，或函数的可导，则一定有存在，但是若极限存在，也不能说在点可导，因为它不能保证在点有定义. ③ 几个常用导数定义的等价形式 ；； ；； ，一般地有，（为常数）； 其通式为，其中为奇函数. 2、函数在区间上的导数定义 如果函数在区间内的某一点都可导，则称函数在区间内可导，那么对于区间内的任一点，都对应于一个确定的函数值，这个新的函数称为函数的导函数，简称：导数，记作：、、、， 即，其中. 注释：函数在点处的导数是导函数在点处的函数值，即，但. 二、导数的几何意义 1、几何意义 可导函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率. 2、切线方程与法线方程 曲线在点处的切线方程为：； 曲线在点处的法线方程：. 三、左右导数的概念 1、左右导数的定义 右导数：； 左导数；； 2、可导的充要条件 定理 在可导，即左、右导数存在且相等. 注释：该定理主要用于讨论分段函数在分段点处的导数是否存在. 四、可导与连续的关系 定理 如果函数在点处可导，则在点处连续，反之不成立. 注释：① 若函数在某一点连续，但函数在该点不一定可导，如在连续，但在不可导，即函数在某点连续是它在该点可导的必要条件. ② 函数在点可导，不能得到它在点的某个邻域内连续，如：在可导，且在连续，但在的任何点都不连续. ③ 函数在处可导，不能得到它的导函数在点连续，如：在可导，但在不连续. 2.2 一元函数的求导法则 一、基本初等函数的求导公式（略） 二、导数的四则运算法则 定理 设函数与在点处都可导，则 （1）； （2），特别地，为常数； （3），特别地，其中. 三、复合函数的求导法则 定理 若函数在点可导，而在对应的点处可导，则复合函数在点可导，且有 或 . 四、反函数的求导法则 定理 若函数在某一区间内单调且可导，且，则它的反函数在对应的区间上也可导，且有 或. 注释：① 只有满足求导法则的条件时，才能使用求导法则. ② 函数的和、差、积、商、复合函数是可导的，不能保证各自是可导的. 如：，，因，，，在任意点都是可导的，但及在任一点都不可导. 2.3 高阶导数 一、高阶导数的概念 1、二阶导数的定义 若函数的导数对自变量仍可导，则称对的导数为函数的二阶导数，记作：、、或. 2、高阶导数定义 二阶及其以上阶的导数叫高阶导数，一般地的导数，称为的阶导数，记作：、、或，即（）. 3、高阶导数的运算法则 （1） （2）莱布尼兹公式 ，其中，. 二、几个常用函数的高阶导数 ，，（正整数）， ，，，， ，，， ，，. 2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 求隐函数的导数一般有以下三种方法： 1、公式法 设方程决定了是的函数，则. 2、利用一阶微分形式的不变性 方程两边同时微分，可得含有、的一个方程，从中求出微商即可. 3、利用复合函数的求导法则 第一步：方程两边同时对求导，当遇到的表达式时，把看成是的函数（即先对求导，再乘以对的导数），可得到一个含有、、的方程； 第二步：从上述方程中解出即可. 二、由参数方程所确定的函数的导数 1、一阶导数 设（），和都可导且，则. 2、高阶导数：（）. 三、幂指函数的导数 设幂指函数（其中，），则幂指函数的求导公式为. 2.5 函数的微分 一、微分的概念 1、微分的定义 设函数在点的某个邻域内有定义，若函数的改变量可以表示为自变量增量的线性函数（其中是与有关，而与无关的常数）与一个比高阶无穷小之和，即，则称函数在处可微，其中称为函数在处的微分，记作：. 注释：（1）函数在点可微必须满足两个条件： 、函数在的某个邻域内必须有定义； 、等式成立. （2）若函数在点处可微，则（由于）. 2、可微的充要条件 定理 在点可微在可导. 3、若函数在区间上的任一点都可微，则称函数为上的可微函数且有. 二、复合函数的微分法则 定理 如果函数可微，函数也可微，则复合函数的微分为 ，也可以写成. 2.6 微分中值定理 一、罗尔（）中值定理 定理（罗尔（）定理） 设函数满足条件: （1）函数在闭区间上连续； （2）函数在开区间内可导； （3）， 则至少存在一点，使得. 注释：罗尔中值定