第二章 内积空间.docVIP

PAGE PAGE 17 第二章 内积空间 在线性空间中，元素之间仅限于加法及数乘两种线性运算，但在三维欧氏空间中，也就是在向量代数中，向量的数量积(内积)是一个重要的概念，它是引入向量正交、长度和两向量夹角等概念的基础，为了使这些应用较广的概念能在抽象的线性空间中得到反映，有必要将这些概念加以拓广，建立线性空间的内积的概念，由此形成内积空间． §2.1 内积空间的概念 一、内积空间的定义与基本性质 定义1 设是数域上的线性空间，如果在上还定义了一种叫内积的运算：对于中任意向量都有中唯一的数与之对应，记为．并且这种内积运算还具有如下性质：对于任意的及任意的，有 1) ； 2)； 3)； 4)当时，． 此时称为一个内积空间． 例1 对于复数域上的线性空间，若规定向量，的内积为 ， 则是一个复数域上的内积空间． 例2　是区间上全体实连续函数对于函数加法与数乘所成的实数域上的线性空间．对于中元素，定义内积 ， 则构成一个内积空间． 例3 设是阶正定H-矩阵(，详见本章第三节)．对于复线性空间中的任意向量，若规定内积为 ， 则构成一个内积空间． 内积的四条规定可推出如下性质 1o　． 2o　． 3o　． 4o　． 5o　． 6o　． 7o　． 定义2　对于内积空间中的向量，定义它的长度为 ． (1) 关于向量的长度，有下面性质 8o ． (为数的模) 长度为1的向量称为单位向量，任何非零向量都可以单位化， 即令 ， (2) 则是经单位化得到的单位向量． 定理1　[Ｃauchy-Ｓchwarz不等式]对于内积空间中任意向量有 　　　　　　　　． (3) 并且，等号成立的充要条件是线性相关． 证明略． 9o　(三角不等式)对任意向量，有 ． (4) 证　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　． 由此即知(4)成立． 定义3 设为阶H -矩阵，为维复变元向量，则称 为一个厄米特(Hermite)二次型，称为H -二次型． 无论为任何维复向量，二次型的值总是实数，这是因为 ． 任一厄米特[Hermite]二次型必可经复数域上适当的可逆线性变换化为唯一的规范形 ． (5) 上式中的称为该H—二次型的秩数，是正惯性指数，称为负惯性指数． 与规范形(5)相应的厄米特二次型的矩阵 称为H—矩阵的规范形，显然有．与实二次型类似，可以根据正负惯性指数的不同情况把Hermite二次型及Hermite矩阵分别定义为正定、负定、半正定、半负定和不定的． 定义4　在内积空间中，如果两向量的内积为零，则称正交或垂直，记作(规定零向量与任何向量都是正交的)． 10 o　(勾股定理)对于内积空间中的向量，若，则有 ． (6) 定义5　内积空间中两向量的距离定义为 ． (7) 二、标准正交基 定义6　在内积空间中，由两两正交的一些非零向量组成的向量组称为一个正交向量组，简称正交组． 易证正交向量组是线性无关的． 定义7每个向量都是单位向量的正交组称为一个标准正交组或单位正交组． 定义8　在内积空间中，由正交向量组组成的基称为正交基；由标准正交组组成的基称为标准正交基． 维内积空间的个向量构成标准正交基的充要条件是 利用施密特[Ｓchmidt]标准正交化过程可以从一个已知线性无关向量组出发，得到一个与之等价的标准正交组． 实施过程又分为两大步．一是逐步正交化过程，一是单位化过程． 逐步正交化：令，，[设，为保证，只需，，．．．，，，易知与等价，与等价． 单位化：令，则为与等价的标准正交向量组． 定理2　维内积空间必有标准正交基． §2.2 欧氏空间 定义9　实数域上的内积空间称为欧几里得[Euclid]空间，简称欧氏空间． 由于欧氏空间是实数域上的内积空间，因而内积的共轭对称性就成了对称性． 设是维欧氏空间，是的一组基．对于中两个向量 ， ， 由内积的性质，知 ． 令