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方法整理 | 借鉴参考collection of questions and answers
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有关平行、垂直问题常见判定方法
线线平行的判定
公理4:平行于同一直线的另两直线互相平行.
∥,∥ == ∥
三角形中位线平行于底边;平行四边形对边平行;棱柱侧棱互相平行.
线面平行的性质:一条直线与一个平面平行,过该直线的平面与已知平面相交,该直线与交线平行.
∥,,= == ∥
面面平行的性质:两个平面平行,同时与第三个平面相交,所得的两条交线互相平行.
∥,=,= == ∥
平行于同一平面的两直线互相平行.
⊥,⊥ == ∥
线面平行的判定
线面平行的判定定理:若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
,,∥ == ∥
若两平面平行,则一个平面内的任一直线与另一平面平行.
∥, == ∥
⊥,⊥, == ∥
⊥,⊥, == ∥
面面平行的判定
面面平行的判定定理:若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
,,=,∥,∥ == ∥
垂直于同一直线的两个平面互相平行.
⊥,⊥ == ∥ (见上图)
平行于同一平面的两个平面互相平行.
∥,∥ == ∥
柱体的上下底面互相平行
线线垂直
1、线线垂直的定义:与所成的角为直角.
2、线面垂直的定义:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内的任一直线都垂直.
⊥, == ⊥
3、⊥,∥ == ⊥
4、三垂直定理及其逆定理
⊥( H为垂足),,HM是斜线PM在平面内的射影
三垂线定理(垂影则垂斜):⊥HM == ⊥PM
三垂线定理的逆定理(垂斜则垂影):⊥PM == ⊥HM
5、⊥,⊥,⊥ == ⊥
五、线面垂直的判定
1、线面垂直的判定定理:若一直线和平面内的两相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
,,=, ⊥,⊥ == ⊥
2、∥,⊥ == ⊥
3、直棱柱的侧棱与底面垂直
4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,也垂直于另一个平面
∥,⊥ == ⊥
5、面面垂直性质:两平面垂直,一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
⊥,=,,⊥ == ⊥
两相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也与第三个平面垂直.
=,⊥,⊥ == ⊥
六、面面垂直的判定
1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.
2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
⊥, == ⊥
2、∥,⊥ == ⊥
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