判断函数单调性的常见方法[借鉴].docxVIP

方法整理 | 借鉴参考collection of questions and answers 方法整理 | 借鉴参考 collection of questions and answers 方法汇编 | 精品资料 PAGE 1 借鉴参考 | 实用可编辑 判断函数单调性的常见方法 函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I∈A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1X2时，都有f(X1)f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为函数的单调增区间； 2）、当X1X2时，都有f(X1)f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。 常见方法： Ⅰ、定义法： 定义域判断函数单调性的步骤 取值： 在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1X2; 作差（或商）变形： 作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形； 定号： 确定差f(X1)-f(X2)的符号； 判断： 根据定义得出结论。 例：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明 解：任取x1、x2∈(-∞，+∞)，x1x2,则 f﹙x1﹚-f﹙x2﹚=(x13+x1)- (x23+x2)=(x1-x2)+(x13-x23) =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2) [﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2∈(-∞，+∞)，x1x2, ∴x1-x20,（x1+1/2x2﹚2+1+3/4x220 故f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2) ∴f(x)在(-∞，+∞)上单调递增 Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）： 函数y=-f(x)的单调性相反 函数y=f(x)恒为正或恒为负时，函数y=f(x)的单调性相反 在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数 例：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性 解：设y1=-x+1,y2=1/x, ∵y1在（0，+∞）上↓，y2在（0，+∞）上↓, ∴y=-x+1+1/x在（0，+∞）内↓ Ⅲ、图像法： 说明：⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x1、x2的任意性 ⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 Ⅳ、分析法： 复合函数单调性判断： y=f(u) 增 增 减 减 u=g(x) 增 减 增 减 y=f(x) 增 减 减 增 例：判断y=1/(-2x-3)的单调性 解：令u=-2x-3, ∵y=1/u在（0,+ ∞）↓,在（-∞，0）↑， u(x)在(-∞,+ ∞) ↓ ∴y=1/(-2x-3)在（0,+ ∞）↑，在（-∞，0）↓ 这种方法概括为“同减异增” 判断函数单调性的常见方法有定义法、直接判断法、图像法、分析法…… 做题时要结合具体题意，找出适当的方法解题。