第二宇宙速度公式推导及应用.pdf

第二宇宙速度公式推导及应用 ■ 王国士 高中数学新教材增加了微积分的知识 ，本文用积分方法推 由以上 两式得 ，人造地 球卫 星在距地 心为 r处 的轨遁上 的 导第二宇宙速度的计算公式． 动能为： ÷ =G = 设地球的质量为 ，半径为R，发射地面附近的人造地球卫 则 ，质量为m的人造地球卫星在距地心为r。和r2处的动能 星必须具有的速度叫第一宇宙速度．由万有引力定律及牛顿第 分别为 ： 二定定律得： = = G警=m等G =mg ， 譬． 设卫星在无限远处的重力势能为零 ，地球的质量为M，则质 解得：l= =7．9km／s 量为，的人造地球卫星在距地心为r(r月)的轨道移到无限远 人造地球卫星脱离地球引力束缚飞到无限远处所必须具 处的过程中，克服地球的引力所做的功等于卫星重力势能的增 有的速度叫第二宇宙速度． 量，由万有引力定律及牛顿第二定律得： 卫星在地面上具有的动能应等于它从地面附近运动到无 限远处克服重力所做的功，则 ： = 一 = 一 』G -(0一GM，m)=G ． =E ÷ my 将 GMm=mg代入上式得，卫星在距地心为r处的重力势 r = 能为：E 一 mR2g JR J』RGr G』L=mRg． ． — — 由以上两式解得：2=~／2船 =11．2km／s 则 ，质量为m的卫星在距地心为 和r：处的重力能分别 例 1 质量为rrt的人造地球卫星在距地心为r1的轨道上绕 为： 地球做匀速圆周运动，现该将该卫星通过变轨后在距地心为 r2 。 = 一 ， = 一 警 的轨道上绕地球做 匀速圆周运动，至少需要增加多少能量?(地 将质量为m的人造地球卫星在距地心为 的近轨道转移 球表面的重力加速度为g) 到的r：远轨道需要增加的能量为： 分析与解：质量为m的人造地球卫星在距地心为 和r2处 的动能和重力势能分别为： △E= =(Jz+)一(+)=(警 一 万有引力提供卫星做匀速圆周运动，则 ：G ：m 2 ． 警r1 等Zrl一rl=r1一警Zr，= Zr1r1． 在地球表面附近有 ：G =mg． [甘肃省兰州市第一中学 (730030)]