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第二章 波函数和薛定谔方程 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。 主要介绍： 1.二个基本假设： A. 微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。 B. 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。 2. 用定态薛定谔方程求解三个简单问题： A. 一维无限深势阱 B. 一维谐振子 C. 势垒贯穿 （隧道效应） §2.1. 物质波的波函数及其统计解释 1. 波函数： 用波函数 描述微观客体的运动状态。 例：一维 自由粒子的波函数 推广 ：三维 自由粒子波函数 2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释 用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。 t 时刻，出现在空间 （x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数 之比。 t 时刻，粒子出现在空间 （x,y,z）点附近单位体积内的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度 4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 标准条件：一般情况下， 有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。 对微观客体的数学描述： 脱离 日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾 §2.2.、态的迭加原理 态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作 一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加 深对态迭加原理的理解。 一、量子态和波函数 用波函数 Ψ （r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ （r,t）给 定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为 。 波函数的统计解释也是波粒二项性的一种体现。 经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可 能的波动过程。如：惠更斯原理。 描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相 同？ 二、量子力学的态的迭加原理 1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波 φ 与 φ 1 2 线性相加，φ a φ +b φ , 相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射 1 2 就是用波的迭加原理加以说明的。 量子力学的二个态的迭加原理 （P22倒7行）：如果Ψ 与Ψ 是体 1 2 系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ c Ψ +c Ψ ， （c 、c 1 1 2 2 1 2 是复数） 也是这个体系的一个可能状态。 2、例：以双缝衍射实验 （见上面图），推广到任意多态的一般态迭加 原理： 衍射图样的产生证实了干涉项的存在。 3、态的迭加原理 如果Ψ 、Ψ 、Ψ …是体系可能的状态，则它们的线性迭加态 1 2 3 Ψ c Ψ +c Ψ + c Ψ … ∑c Ψ 1 1 2 2 3 3 i i 也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处 在Ψ 态、也部分处在Ψ 态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的 1 2 各个态Ψ 。 i 4 、说明： （1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解 为某一个算符本征态的迭加。 （2 ）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的 迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。 三、一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面 波的迭加 数学表示