知识讲解 空间向量与立体几何全章复习与巩固 提高.doc

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固 编稿：李霞 审稿：张林娟 【学习目标】 1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示； 2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量； 3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题； 4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题. 【知识络】 【要点梳理】 要点一：空间向量的有关概念 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量； 空间向量及其运算 空间向量的线性运算 空间向量的基本定理 两个向量的数量积 共线向量定理 共面向量定理 空间向量与立体几何 空间向量分解定理平行与垂直的条件 空间向量的直角坐标运算 空间向量在立体几何中的应用 直线的方向向量与直线的向量方程 平面的法向量与平面的向量表示 直线与平面的夹角 二面角及其度量 距离 空间向量的表示： 一种是用有向线段 AB表示，A叫作起点，B叫作终点； 一种是用小写字母a（印刷体）表示，也可以用 a（而手写体）表示． 向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|| AB或|| a 向量的夹角：过空间任意一点O作向量ab,的相等向量 OA和 OB，则?AOB叫作向量ab,的夹角，记作??，ab，规定0?????，ab．如图： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a ?． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a?平行于b?记作ba??//，此时．ab? ?，=0或ab? ?，=?． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释： （1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移； （2）当我们说向量a?、b?共线（或a?//b?）时，表示a?、b?的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． （3）对于任意一个非零向量a? ，我们把aa叫作向量a ?的单位向量，记作0 a0a与a?同向． （4）当 ab??，=0或?时，向量a?平行于b?，记作ba??//；当 ab ??，=2 ?时，向量ab ，垂直，记作ab?． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类型 几何方法 运算性质 向 量 的 加 法 1平行四边形法则： OCOAOBab???? a b 加法交换率： .abba??????? 加法结合率： ()()abcabc????? ()abab???? ABBC=AC? 0ABBA=? 2三角形法则： OBOAABab???? 向 量 的 减 法 三角形法则： BAOAOBab???? ABOAOB?? 向 量 的 乘 法 a?是一个向量，满足： ?0时，a?与a同向； ?0时，a?与a异向； ?=0时， a?=0 ()()aa????? ()aaa??????? ()abab?????? a∥bab??? 向 量 的 数 量 积 1．ab是一个数：||||cos()ababab?，； 2．0a?，0b=或ab? ?ba?=0． abba? ()()()ababab????? ()abcacbc??? 22||aa? ||||||abab? 要点三：空间向量基本定理 共线定理：两个空间向量a?、b?（b?≠0?），a?//b?的充要条件是存在唯一的实数?，使ba????． 共面向量定理： 如果两个向量,a b不共线，则向量 p与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的一对实数,xy，使pxayb? ?． 要点诠释： （1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理： 如果三个向量,,ab c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组,,xyz，使pxaybzc?? ?. 要点诠释： （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个