如何构造全等三角形解题(学生版).docVIP

如何构造全等三角形解题 我们知道，全等三角形是研究几何图形的基础，许多几何问题若能通过辅助线构造出全等三角形，以沟通题设与结论，从而使问题获解.那么如何才能构造全等三角形呢？一般来说有以下几种常见方法： 一、遇到中线可倍长中线 图1GCF 图1 G C F B A E D 【小结】要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形 二、遇到角平分线可利用角的对称性 例2：如图2，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AC＝AB+BD，试说明∠B与2∠C相等的理论依据 图2 图2 B A C D E 【小结】在几何解题中若遇到角平分线时，通常利用角的对称性，在角的两边截取相等的两部分构造构造全等三角形求解 三、遇到高可以高线为对称轴 图3EDCBA例3：如图3，在△ABC中，AD⊥ 图3 E D C B A 图4P 图4 P′ P B A C 四、遇到特殊图形可通过旋转变换 例4：如图4，设点P为等边三角形ABC内任一点，试比较线段PA与PB+PC的大小 【小结】由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题 五、利用平行线 F图5ME F 图5 M E A B C D 【小结】这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低 技能技巧训练 ABCD A B C D 一、运用全等三角形解决与线段有关的问题 例1：如图已知：△ ABC中，∠C=2∠B，∠BAD=∠CAD， 求证：AB=AC＋CD ACBDE【解析】从结论出发，宜采用“截长补短”法．先说 A C B D E A A B C D F C C D A B E 二、运用全等三角形解决与角有关的问题 例2：如图AC=AD，BC=BD，AB的延长线与CD交于E，求证：AE⊥CD 【方法点拨】 证明垂直的常用方法： ⑴证明两条直线夹角等于90°； ⑵证明邻补角相等； ⑶若三角形的两锐角互余，则第三内角是直角；⑷垂直于平行线中的一条也必垂直于另一条； ⑸证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；⑹邻补角的平分线互相垂直； ⑺代数法计算． 还可以： ⑴证明垂直问题可以转化为证明角的相等问题，然后转化为证明三角形全等 ⑵证明两个三角形全等时，应先分析图形结构和条件，围绕条件和结论，确定证明哪两个三角形全等 三、利用全等三角形解决实际问题 AB例3：A、B两建筑物位于河的两岸，要测量它们之间的距离，可以用什么方法？ A B A A C F D Ｅ B 【方法点拨】利用全等三角形解决实际问题 的一般步骤： ⑴先明确实际问题应用哪些几何知识解决 ⑵根据实际抽象出几何图形 ⑶经过分析，找出证明途径 ⑷写出过程