法向量在立体几何中的应用..docxVIP

PAGE PAGE # 法向量在立体几何中的应用 查宝才(扬州市新华中学，江苏 查宝才 (扬州市新华中学，江苏 225002) 向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接， 用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后， 既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新 的思想方法 向量法。下面就向量中的一种特殊向量 法向量，结合近几年的高考 题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。 1 法向量的定义 定义1如果一个非零向量 n与平面 垂直，则称向量n为平面 的法向量。 定义2 任意一个三元一次方程： Ax By Cz D 0，(A2 B2 C2 0)都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中n (A,B,C) 0)都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中 n (A,B,C)为其一个法向量。 [1] 0 0 (A2 B2 C2 0)，即为点P的轨迹方程。 By Cz D 0(A2 B2 C2 0), n (A,B,C)。 为直线I的方向向量v与平面 的法向量n之 事实上，设点P0(x0,y0,z0)是平面 上的一个定点，n (A,B,C)是平面 的法 TOC \o 1-5 \h \z 向量，设点P(x, y,z)是平面 上任一点，则总有 P0 P n。 P0P n 0,故(A,B,C) (x X0, y y°,z z°) 0, 即 A(x x°) B(y y°) C(z z°) 0, Ax By Cz Ax 0 By0 Cz0 0 , ……① 设 D Ax 0 By 0 Cz°, 则①式可化为Ax By Cz D 从而，任意一个三元一次方程： Ax 都表示一个平面的方程，其法向量为 2法向量在立体几何中的应用 2.1 利用法向量可处理线面角问题 设 为直线I与平面所成的角, (图 1 )或 间的夹角，则有 特别地0时，，1 图i (图2) 图2 例1 （2003年，新课程、江苏 辽宁卷咼考题） 如图3, 在直三棱柱 ABC AiBiCi中，底面是等腰直角三角形, ACB 90 , 侧棱AAi 2 , D, E分别是CCi与AiB的中点，点E在平面ABD 上的射影是 ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。 z Ci （结果用反三角函数表示） 解 以C为坐标原点，CA所在直线为X轴，CB所在直线为 y轴, CCi所在直线为z轴，建立直角坐标系, 图3 Bi 设CA CB (a,0,0) , B (0,a,0) , Ai(a,0,2), D (0,0,D a a i G(3,3,3)， GE ,BD (0, a,i), ???点E在平面ABD 上的射影是 ABD 的重心 ??? GE 平面ABD , ??? GE BD 0 ,解得a 2。 — i I 2 GE (3,3,3)，BAi (2,2,2)， ??? GE 平面ABD , ? GE为平面ABD的一个法向量。 TOC \o 1-5 \h \z —L _. 4 _ \o Current Document GE BAi 3 2 由 cos GE , BAi - 3 |GE | |BAi | 匹 2血 3 \o Current Document 3 222 PAGE 2 2 2 PAGE # 得 GE , BA1 ard A1B与平面ABD所成的角为 ,2 arccos —— 3 ，即 7 arccos —— 3 评析因规定直线与平面所成角 [0,—]，两向量所成角 [0,]，所以用此 2 法向量求出的线面角应满足 2.2 利用法向量可处理二面角问题 设ni,门2分别为平面 的法向量，二面角 l 的大小为，向量 ni 例2 （ 2003年，北京卷高考题） （图 4）或 如图6，正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 图5 2 BC 。 D是CB延长线上一点，且 BD 则 A（0,0,3街，B (3 ,0,0)， D(-,0,0)， 叫①3,0）， PAGE PAGE # x PAGE x PAGE # ??? AD (3, 2。。）,瓯（0；3,0）， 由题意 BB, 平面ABD , BB, （0,-3,0）为平面ABD的法向量。 2 平面 AB,D的法向量为 n2 (x,y,z), r)2 r)2 AD B,D n2 ADn2 B, D 3x 3.3z 2 3?3y 2 y 2^y。 .3x ?不妨设 r)2 齐）， cos BB^i, n2 BB1 n2 |BBi| | 3^3 2 3、3 2 2 BB, ,n2 60。故所求二面角 B的大小为 60。 评析 （〔）用法向量的方法处理二面角的问题时， 将传统求二面角问题时