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第二章 矩阵及其运算 § 1 矩 阵 简记为 : A =( a ij ) 其中 a ij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素 ? 称为 矩阵的 ( i,j ) 元 . 元素是实数的矩阵称为 实矩阵 , 元素是复数的矩阵称为 复矩阵 . m 行 n 列的矩阵 : 由 m ? n 个数 a ij 排成的 m 行 n 列的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A ? =A m × n = ( a ij ) m × n. m =1 时 , A = ( a 11 a 12 ? ? ? a 1 n ) ? 称为 n 维行向量 11 21 1 1 m a a n A m a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 时, 称为 维列向量 . m=n 时 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn n n n n a a a a a a a a a A ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 22 21 1 12 11 称为 n 阶方阵 . 从左上角到右下角的连线称为 主对角线 . 注意:矩阵的记号与行列式的记号很相象 , 矩阵的记号是数 表外加括号 , 而行列式的记号是数表外加两根竖线 . 但是矩阵 和行列式是两个不同的概念 , 矩阵是一个数表 , 而行列式是一 个数 , 对任何一个 n 阶矩阵 , 它都唯一的确定一个行列式 . n 阶单位阵 E n ( 或 E ) : 1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 n E E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 对角矩阵: 上三角矩阵: 1 2 * 0 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 下三角矩阵: 1 2 0 * n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 diag( , , , ) : n ? ? ? ? 1 2 0 0 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? § 2 矩阵的运算 矩阵相等 :如果 A ? ( a ij ) 与 B ? ( b ij ) 的行数和列数相等 , 且 a ij ? b ij 对任何 i,j , 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等 ? 记作 A ? B . 数集有四则运算,也就是加减乘除这四种运算 . 类似的对于矩阵而言,我们可以引进加法,减法, 和乘法运算,但是除法运算不能推广到矩阵当中 . 一 . 矩阵的加法 :设有两个 m ? n 矩阵 A ? ( a ij ) 和 B ? ( b ij ) ? 则 ( a ij ? b ij ) 称为 A 与 B 的和 . 记为 A+B . 零矩阵 :元素全为 0 的矩阵,记为 0. 矩阵的减法 : ( a ij ? b ij )= A+ ( ? B ) 称为 A 与 B 的差,记为 A ? B. 性质: 1. 交换律 A ? B ? B ? A ? 2. 结合律 ( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ) ? 3. 加法单位元: A+ 0 = 0 +A=A. 4. 加法逆元: A+( ? A)= 0. A 的负矩阵 : ( ? a ij ) 称为 A 的负矩阵 , 记为 ? A . 1 2 5 6 6 8 3 4 7 8 10 12 例 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注意 : 只有当两个矩阵是同型矩阵 ( 即两个矩阵的行数和列数 分别相等 ) 时 , 才能进行加法运算 . 二 . 数 ? 与矩阵 A =( a ij ) 的数量乘积: ( ? a ij ) 称为 ? 与矩阵 A 的 数量乘积 . 记为 ? A . 性质 : 设 A 、 B 都是 m ? n 矩阵 ? ? 、 ? 是数 ? 则 1. 1 · A=A. 2. 分配率 ( ? ? ? ) A ? ? A ? ? A ? 3. 分配率 ? ( A ? B ) ? ? A ? ? B 4. ( ?? ) A ? ? ( ? A ). 1 2 2 4 1 2 2 2 2 2 4. 3 4 6 8 3 4 6 4 例 : . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注意: 矩阵数乘与行列式数乘的区别 . 三 . 矩阵乘法的定义 设 A ? ( a ij ) 是一个 m ? p 矩阵 ? B ? ( B ij ) 是一个 p ? n 矩阵 ? 定义 AB = C ? ( c ij ) m ? n ? 其中 1
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