5.3.1 期权定价-二叉树简介讲义.pdf

5.第五章 金融工程在交易策略设计中的应用 第三节 期权产品的定价原理 5.3.1 期权定价——二叉树简介 1979 年， Cox, John C., Stephen A. Ross, and Mark Rubinstein. “Option pricing: A simplified approach.”Journal of financial Economics 7.3 (1979): 229- 263 将二叉树模型用于期权定价中，迄今为止，这种模型已经成为金融界最基本 的期权定价方法之一。 其基本思想是资产在市场上交易时，是随着时间在连续在变动的。所以如果 我们把这个时间点看得很小的话，那么从一个时间点到下一个时间点，资产价格 可能的变化，可以认为它只有两种可能。 一、 二叉树模型的基本假设 1. 资本市场完全竞争的 2. 市场无摩檫的（无交易费用和税收) 、 3. 市场交易可以连续进行 4. 不存在无风险套利机会 5. 股票和期权是无限可分 6. 下一期的股票价格只取两种可能的值 二、 欧式期权单期二叉树 假设一种不支付红利股票目前的市价为20 元，我们知道在3 个月后，该股 票价格要么是22 元，要么是18 元。假设现在的无风险年利率等于10% （连续复 利），现在我们要找出一份 3 个月期协议价格为 21 元的该股票欧式看涨期权的 价值。 无套利定价思想1. （复制待定价的产品） 我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值完全相同：以无风 险利率r 借入一部分资金 B，同时在股票市场上购入N 股标的股票。该组合的 期初价值是20N - B，到了期末，该组合的价值V 是V = 1− ∗0.1∗3/12 对应于S 的两种可能， V 有两个取值： 1 如果S =22,则 = 1 = 22 −0.1∗3/12， 1 如果S =18,则 = 0 = 18 −0.1∗3/12 。 1 利用两式联立的方程组，可解得N 和B，即： { = 0.25 = 4.39 将其代入初始组合，即可得到期权的价值 = 0.25∗ 20 −4.39 = 0.61 无套利定价思想2. （复制无风险组合） 建立一个包含衍生品头寸和基础资产头寸的无风险的资产组合。若数量适当， 基础资产多头的赢利就会与衍生品的空头亏损相抵，无风险。无风险组合的收益 率必须等于无风险利率。 为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的标的 股票多头组成的组合。为了使该组合在期权到期时无风险，Δ必须满足下式： 22Δ– 1 18Δ 无风险意味着： 22Δ－1=18Δ，即：Δ=0.25 该无风险组合的现值应为： 4.5−0.1×0.25 = 4.39元 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25 单位股票多头，而目前股票市 场为20 元，因此： 20 ×0.25 − = 4.39 = 0.61元 无套利定价思想3 ：风险中性定价思想 在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为p ，下跌的概率为1−p ， 则 −0.1×0.25[22 + 18(1−)] = 20 = 0.6266 这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该期权的价值： −