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3.第三章 金融工程在风险管理中的应用
第三节 期权在风险管理中的应用
3.3.7 其他希腊字母的应用
引言
除了Delta,对其他希腊字母的监控也是期权风险管理的重要的组成部分。
相对于 Delta,其他希腊字母更多体现的是影响因素对期权价值的非线性影响,
这种非线性的影响由于在标的资产或者期货或者远期里面很难去体现,因此其风
险敞口的管理难度也更大。
一、 Gamma
1. Gamma 的定义
Gamma 是期权价值对标的资产价格的二阶偏导数,也是期权的Delta 对标的
资产的一阶偏导数。
Δ 2
Γ = =
2
Gamma 在检验一个合约的高阶行为时是非常有用的。
通过Gamma 中性套期保值也可以减少调整频率和调整需求。
2. 数值分析:Gamma 如何减少调整需求
假设:
资产初始的价格S0 等于1200;
资产的波动率是20%;
无风险利率是0.0275;
红利率q 等于0;
到期期限等于0.328767 年;
执行价格X 等于1200;
看涨期权的价值约等于60.192;
期权的初始Delta 等于0.565;
初始Gamma 等于0.00293。
根据泰勒公式,当股价从S0 变到S1 的时候,期权价值的变化为:
1 2 2
(1) ≈ (0) + (1 − 0) + 2 2 (1 − 0)
结合上式,可以近似的计算当标的资产的价格从S0 变到S1 的时候,期权的
价值是如何变动的。有如下三个价值:
期权理论价值:由期权理论的定价公式计算。
Delta 调整期权价值= + Δ( − )
0 1 0
( ) ( )2
Gamma 调整期权价值=0 + Δ 1 − 0 + 0.5Γ 1 − 0
如图,将标的资产的价格从 1200 降到1100 升到1300,观察三个价值之间的
关系会发现, 当未来的价格无论是下降还是上升的时候,仅通过Delta 调整之
后得到的价值跟真实的理论价值之间的差距会慢慢的拉大,而差值体现的就是
Delta 计算的价值和理论价值之间的差值,为紫色的曲线。理论价值和Gamma 调
整之后的价值的差值体现为浅蓝色的曲线。可以看到,通过Gamma 调整之后的价
值跟理论价值之间的区别不是特别的大,也就是说通过Gamma 调整之后的价值是
非常接近理论价值的。但是通过Delta 调整之后的价值当资产的价格变动比较大
的时候会有一个明显的误差。
图 1 考虑Gamma 的复制效果
由此可以得到,通过降低组合的Gamma 值,甚至达到Gamma 中性,就可以大
大的降低Delta 的调整频率,进而降低调仓成本。
3. Gamma 的管理
由于标的资产以及它的远期期货合约的Gamma 都等于0,因为他们关于标的
资产都是一种线性的合约,因此我们不能用它们来改变投资组合的Gamma。如果
我们要改变投资组合的Gamma,必须使用那些价格与标的资产价格之间呈现非线
性关系的工具,比如说期权。由于我们现在的期权品种还不是特别的丰富,因此
在缺乏Gamma 对冲工具的情况下,就需要在实际的交易中去监控Gamma,设定阈
值,Gamma 超过阈值,增加对冲频率,否则降低调仓频率。
4. Gamma-欧式期权
欧式期权的Gamma 为:
′ (1)
Γ = Γ =
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