初中-数学-人教版-八年级下册-正方形中的十字架模型.doc

正方形中的“十字架”模型 十字架结构有：正方形中的十字架结构、矩形中的十字架结构和直角三角形中的十字架结构。 1知识储备 ⑴．通过构造全等得到：在正方形的对边分别取点并连接得线段EF⊥MN，若EF⊥MN,则EF=MN.——这个被称为正方形中的十字架模型.(有以下3种情况） 图1 图2 图3 其中第2个图形可以通过这个图形构造三角形全等来证明 反过来，在正方形的对边分别取点并连接，若EF=MN,则EF垂直MN吗？ 不一定垂直！！举个反例试试！如下：（EF在E′F′的位置上） 图4 模型总结：正方形中的“十字架模型”：在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段①若垂直，则相等.②若相等，则不一定垂直.(图1，图2，图3均成立，图4不成立 ) ⑵． 正方形中的“十字架”模型的变形： ①变形证明方法图解：建立在垂直结构中的不同辅助线方向 试题中，经常以正方形为背景，多结论的选择题难度较大，如果学生能熟练掌握这类数学几何模型的结论，不仅能提高学生解题速度，掌握一类型题目的求解方法，还能提高优生比例。下面我们一起来看看，在以下几类题目中，十字架模型的应用例子。 2模型应用 第一境界——模型的基本应用 1、如图1-1，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，求折痕FG及线段DF的长. 1-1 1-2 分析：如图1-2所示，因为对应点的连线被折痕垂直且平分.故连接AE.可秒杀此题.折叠中找相等，再找直角三角形利用勾股定理求线段长。自己试一试吧 解法二:分析:连接AE，求解FG相当于求AE.线段AE是直角△ADE的斜边，运用勾股定理求解即可解:连接AE，由对称的性质可得:FG⊥AE且FG平分线段AE.由十字架模型可得:FG＝AE＝ 第二境界——构造正方形十字架模型（了解一下即可，想想怎么构造的？有什么条件可以构造成正方形十字架？） 1、如图，在RtΔABC中，∠C=90o，AC=BC，D为BC的中点,CF⊥AD于E点，延长CE交AB于F，则AF：FB= . 3.拓展提升 例、在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P。（） ⑴ 求证：DQ=CP； ⑵ 连接OP与OQ，它们有何关系？为什么？ ⑶ 若AB=2，求四边形OPCQ的面积。 (1)证明;在△DCP和△ADQ中，AD＝CD，∠DCP=∠ADQ， ∠DQM+∠PDC＝90°，∠DQM+∠DAQ＝90° ∴∠PDC＝∠QAD， ∴△DCP≌△ADQ， ∴DQ=CP. (2)答：OP＝OQ，且OP⊥OQ。 .理由：在△OQD和△OPC中， CP＝QD，∠OCP＝∠ODQ，DO＝CO， ∴△OPC≌△OQD， ∴∠POC＝∠QOD，OP＝OQ. ∵∠QOD+∠QOC＝90 ∴∠POC+∠QOC＝∠POQ＝90，即OQ⊥OP (3)∵△OPC≌△OQD， ∴S△OPC=S△ODQ ∴S四边形OPCQ=S△OCD==1 4练习巩固; 1:如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF;②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（ ）。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连结BE、AF相交于点G，则下列结论:①BE＝AF；②∠DAF＝∠BEC；③∠AFB+∠BEC＝90°;④AF⊥BE中正确的有（ ）. A.①②③ B.②③④ C.①②③④ D.①②④ 3.如图，将边长为 cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长 cm,,CN的长为 cm。 4.如图，已知正方形ABCD，延长AB到E，作AG⊥EC于G，AG交BC于F，求证：AF＝CE。 5.模型的特别类型 若十字架的中心和正方形的中心重合，则 1. 十字架把正方形分成形状，大小完全一样的四部分。 2. 十字架的两边长度恒相等。 探究： 1.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形ABCD的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A B C D绕点O无论怎样转动,两个正方形重合的面积.总等于一个正方形一个面积的四分之一,你能说明理由么? （课本63页） 解:∵四