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同余的概念与应用
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概念与性质
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a,b m(m≥1) , a b m, a,b m . a≡b(modm).
a,b m(m≥1) , a b m, a,b m . a≡b(modm).
定义:若整数 被整数 除的余数相同则称 同余于 模 或 对模 同余记为
1. 定义:若整数 被整数 除的余数相同则称 同余于 模 或 对模 同余记为
1.
r:0≤r1.
余数r:0≤r1.
余数
( )a≡b(modm) m|a-b, a=b+mk,k Z.
( )a≡b(modm) m|a-b, a=b+mk,k Z.
性质: ⅰ 即 ∈
性质: ⅰ 即 ∈
2.
2.
( ) a≡b(modm),b≡c(modm), a≡c(modm).
( ) a≡b(modm),b≡c(modm), a≡c(modm).
ⅱ若 则
ⅱ若 则
( ) a ≡b (m dm),a ≡b (m dm) a ±a ≡b ±b (m dm),a a ≡b b (m dm);
( ) a ≡b (m dm),a ≡b (m dm) a ±a ≡b ±b (m dm),a a ≡b b (m dm);
ⅲ 若 ,则
ⅲ 若 1 1 2 2 ,则 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
n n-1 n n-1
n n-1+…+a n n-1+…+b
( ) f(x)=a x +a x +…+ax+a ,g(x)=b x +b x +…+b x+b , a ≡
( ) f(x)=a x +a x x+a ,g(x)=b x +b x x+b , a ≡
ⅳ 设 是两个整系数多项式满足
ⅳ 设 n n-1 1 0 n n-1 1 0 是两个整系数多项式满足 i
n n-1 1 0 n n-1 1 0 i
m
m
b (modm)(0≤i≤n). a≡b(modm), f(a)≡f(b)(modm).( )ac≡bc(modm) a≡b(mod ),
b (modm)(0≤i≤n). a≡b(modm), f(a)≡f(b)(modm).( )ac≡bc(modm) a≡b(mod ),
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