函数四则运微分法则.ppt

第三节函数的求导法则 函数的四则运算的微分法则 反函数的微分法则 复合函数的微分法则及微分 形式不变性 四微分法小结  、函数四则运算的微分 定理1如果函数u(x),(x)在点x处可导(或可微) 则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处 也可导,并且 (1)[u(x)±v(x)=u(x)±v(x)’; 或d(u土v)=d土dv; (2)Lu(x) v(x=u(xv(x)+u(x)v(x 或duv=vd±ldv; 上一页下一页返回  u(x) u(x,(x)-u(x)v(x) (3)[ (v(x)≠0) v(r) v(r 或d(-) uy-uv 证(2)设f(x)=u(x)(x) f(x= lim u(x+△r)v(x+△x)-u(x)(x) Ar-)0 = lim lu(x+△x)-u(x)(x+△x)+(x)v(x+△x)-v(x) Ax u(r)v(r)+u(r)v(r) 上一页下一页返回  推论 (1)∑∫(x)=∑f(x,4(∑f(x)=∑d(f4(x) k=1 k=1 k=1 (2)Icf(r]=cf(r, d( cf(r))=cdf(x); Bluvw=uww+uvw +uvw, d(uvw)=vwdu +uwdv +uvdw 注意:[(x)(x≠l(x)+v(x); u(r) u(r) v(r) v(r) 上一页下一页返回  2 例1.求f(x)=x+2x 的导数 解∫(x)=(x+2√x-2 =x+(2√xy-( x 11 1+22x x 上一页下一页返回  例2.设f(x)= xe Inx,求f(x) 解∫(x)=( xe Inx) x e Inx+x(e Inx+re(n x) e- Inx + xe Inxtxe e(+Inx+rInx 上一页下一页返回  例3求y=tanx的导数 解y’=(anx) Sin d (sin x)cos x-sin x(cos x) cos x cosr+sinr sec式 cos式 cos x y’=(tanx)=sec2x 同理可得y’=(otx)=-csc2x 上一页下一页返回  例4求y=ecx的导数 解y=(secx)=( cos (cosx)’sinx coS x cos x secx tanx 同理可得y=(cscx)=- cscxcotx 上一页下一页返回  二、反函数的微分法则 定理2.如果函数x=(y)在某区间内单调、可导 且q(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 x内也可导,且有 f(x) o(y)dx dr 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 注意:∫(x),￠(y)的均为求导,但意义不同 上一页下一页返回  证任取x∈l,给x以增量△x(A≠0,x+Ax∈I 由y=f(x)的单调性可知4y≠0, 于是有 因为f(x)连续, △r △ 所以当△x→0时,必有y→0 ∧ 故f(x)=lim △x→0△r4y mc=p(y)((y)≠0) 即f(x) p(y) 上一页下一页返回