函数单调性曲线凹凸性.ppt

第四节 第三章 西数的单调性与 曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 曲线的凹凸性与拐点 高等数学(上)  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节西救的早调性与曲线的凹凸性 函数单调性的判定法 B y=f(x y=f(r) af(x)0 b x oa f(x)0 定理1设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导 (1)若在(a,b)内∫(x)0,则∫(x)在[a,b止单调增加; (2)若在(a,b)内∫(x)0,则f(x)在[a,b止单调减少 说明:定理中的闭区间可以换成其它类型的区间 高等数学(上) 旧Bg  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节西救的早调性与曲线的凹凸性 定理1设函数f(x)在开区间I内可导,若f(x)0 ∫(x)0),则∫(x)在Ⅰ内单调递增(递减) 证无妨设f(x)0,x∈1,任取x1,x2∈Ⅰ(x1x2 由拉格朗日中值定理得 f(x2)-f(x)=f()(x2-x1)0 5∈(x1,x2)C 故∫(x)∫(x2).这说明f(x)在Ⅰ内单调递增 类似地可以证明∫(x)0的情形 高等数学(上)  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节西救的早调性与曲线的凹凸性 例1判定函数y=x-sinx在[0,2x]上的单调性 解因为在(0,2x)内 1-cos x0 所以函数y=x-sinx在[O,2z]上的单调增加 例2讨论函数y=e-x-1的单调性 解∵y 又∵D:( 在(-∞,0内,y0, 函数单调减少; 在(0.+∞)内y0,函数单调增加 高等数学(上)  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节西救的早调性与曲线的凹凸性 说明: 1)如上例,函数在定义区间上不是单调的,但 在各个部分区间上单调 2)若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间 3)导数等于零的称为驻点(或称稳定点、临界 点),驻点可能是单调区间的分界点 4)如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 例如,y ∈(-∞2+∞) 高等数学(上)  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节函救的早调性与曲线的四昌性 )函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数 在这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导 数符号来判别一个区间上的单调性.因此函数 x∈(-∞0,+ 在整个定义域内单调增加 例3y=3x2,x∈(-∞,+∞) 说明:此例表明,导数不存在的点也可能是单调 区间的分界点,当然导数不存在的点不 定都是单调区间的分界点 高等数学(上)  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节西救的早调性与曲线的凹凸性 求函数单调区间的步骤 1)确定函数f(x)的定义域 2)在定义域内求出使f(x=0的点与(x)不 存在的点 3)用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠 的子区间; 4)考察(x)在这些子区间内的符号,并由定 理1得出单调区间.注意上述这些点中若有某些点两 侧的单调性一致,则应将两侧合在一起构成一个单 调区间 上述步骤可通过作表辅助完成. 高等数学(上)  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节西救的早调性与曲线的凹凸性 例4确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f(x)=0,得x=1,x=2.据此作下表 x(∞,1)1(,2) f(r) 2-01 故∫(x)的单调增区间为 (-∞,1),(2,+∞); f(x)的单调减区间为(1,2) X 高等数学(上 旧Bg  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节西救的早调性与曲线的凹凸性 2 例5确定函数∫(x)=x3(2-x)3的单调区间 解易得f(x)=1x2-x)(4-3x,令f(x)=0, 得 又x=0,x=2为f(x)不存在的点 据此作下表: 0043)(4/3,2)(2,+∞) f(x) f(x) 故f(x)的单调增区间为(0,4 f(x)的单调减区间为(-∞,0); +∞ 高等数学(上)  第三章微分中值定理与导救的应用 第四节西救的早调性与曲线的凹凸性 例6证明xtanx,x∈(0,2) 证令9(x)=x-tanx,则 tan2x0,x∈(0,5) (x)在(O,)上递减,从而 g(x)yp(0)=0 即x-tanx0,亦即xtanx,x∈(0,2 说明:证明在区间(a,b上∫(x)8(x)的方法: 1)设F(x)=f(x)-8(x),证明F(a)=0. 2)证F(x)0,x∈(a,b 高等数学(上)