等腰三角形典型例题.docx

等腰三角形 1 ?如图，已知点 C为线段AB上一点， 一工二和I-] 都是等边三角形， AN、BM相 交于点0，AN、CM交于点P， BM、CN交于点Q. (1)求证： . (2 )求 AA0B (3)求证：丄； 【分析】(1)欲证 ，只需证明它所在的两个三角形全等. (2) ZA0B 的度 数可用 K0BN 的外角来求，但要注意全等所得到 Z4=Z5 这一条件的使用. (3)要 ，则 从而得到-. (1)证明和丄亠」都是等边三角形， 「，丄 ——_ - 11 , 即 ZACZMCB. 在二1〔」和丄匚中， 加二CM ￡ACN= ^MCB CN=CB U :应3M (2)由(1 )知，二匸」Ul，— - ■. , 即 加肛△+4N时O/BO二仏+厶1朋+上嘲0二心朋+如眈72B. (3 )在丄-…|和S中， 24 二 Z5 Z1 = Z3 CB = CN ■PC=QC, -4PQ = 4QP. 又-, ..ZCPQ = = -(180°- 60^ = 60° 2 即」， ..PQHAB 【点拨】 （1） 要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等. （2） 本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对 绕公共点旋转变换的三角形全等. C 2 ?如图，在 二一丄」中，—」，_一1「 「.一，―一二」的平分线 AM 的 长15 ,求BC的长. 【分析】由AM平分 ，可得 丄丄一J…，—…， 则二―，，所以二T匚二.在―二「中，—二」.，可得川一 由二一 ，可求出BC的长. 解：在RtWC中心= 90° Z^C=60° 也二 30°. Tam平分—_丄「, _」二二:,一―， . 在—二中，—二汕, ..CM =-AM =1.5 ..二 75+15 = 225. 【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性 质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法. 3 .如图，屈丄胡.求证：BD^CE 【分析】根据已知“一】—-,一一 一‘一—”联想到等腰三角形“三线合一” ，通过辅助线将证明 BD = 2CE 转化为证明 证明：延长CE、BA 证明：延长CE、BA交于点F. 一 _， 21 二 Z2 BE = BE ..CS = fiF = i(7F即 _7￡BEC = Z5￡F ..CS = fiF = i(7F 即 _7 在丄二和］中, (AB^AC ￡BAD = ￡CAF = 90° AACF = Z2 m, lBD = CF, 「?肋匚2CE 【点拨】 (i)利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的 倍半关系. (2)联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的 辅助线. 4 ?如图，△ ABC中，AB = AC,在AB边上取点D，在AC延长线上取点 E,使 BD=CE，连结DE交BC于G ? 求证：DG=GE. 【分析】由于△ ABC是等腰三角形, 【分析】由于△ ABC是等腰三角形, D为AB上一点，E为AC延长线上一点，故可考 虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论. ABC的底角相等并借助 ABC的底角相等并借助 证法1 :过D作DF //AC,交BC于F (如图). /.zDFB= ZACB. 又???AB = AC, ???ZB= ZACB. ???ZB= /DFB. ???DB= DF. ???CE=BD(已知), ???DF= CE. 又ZDGF= /CGE,ZGDF= ZE, /?ZDFG^zECG (AAS ). ???DG=GE. 证法2 :过E作EM //AB交BC延长线于 M . ???ZB= ZM . 又???AB = AC, ???ZB= ZACB. 又ZACB=/ECM, ???ZM= /ECM. ???EC=EM . ???CE=BD(已知), ???EM=BD. 在厶BDG与△MEG中， = ZEGM BD = EM z.ZBDGBJMEG (AAS ). ???DG=GE. 【点拨】 (1 )本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形 BD=CE条件，构造新的 等腰三角形来寻求结论. (2)本题在推证含 DG、GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也 是本题最易出错的 地方，主要表现为把 BD= CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边. ▼ 5 .已知：如图，△ ABC中，AB = AC,ZA=36。，仿照图(1)，请你再设计两种 不同的方法，将△ ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形(如图( 1)). (2)图(2) (3)供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所 分得的每个等腰