《圆的一般方程》教学设计(优质课).docx

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圆的一般方程 (一)教学目标 1.知识与技能 (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方 程确定圆的圆心半径,掌握方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件 . (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定系数法求圆的方 程. ( 3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 . 2.过程与方法 通过对方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现及分析 解决问题的实际能力 . 3.情感态度与价值观 渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体素质,激励学生创新,勇 于探索. (二)教学重点、难点 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确 定方程中的系数, D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用 (三)教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 课题引入 问题:求过三点 A (0 ,0) ,B (1 ,1) ,C (4 , 2)的圆的方程 . 让学生带着问题进 行思考 设疑激趣导 入课题. 利用圆的标准方程解决此问题显然有些 麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的 局限性,那么这个问题有没有其它的解决 方法呢?带着这个问题我们来共同研究 圆的方程的另一种形式——圆的一般方 程. 请同学们写出圆的标准方程: (x – a)2 + 整个探索过程由学 通过学生对 22 (y – b) 2 = r 2,圆心 (a, b) ,半径 r. 生完成,教师只做引 圆的一般方 把圆的标准方程展开,并整理: 导,得出圆的一般方 程的探究,使 2 2 2 2 2 x + y –2ax – 2by + a + b –r =0. 程后再启发学生归 学生亲身体 取 D = –2a,E = –2b,F = a2 + b2 – r2 纳. 会圆的一般 得 x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0 ① 圆的一般方程的特 方程的特点, 这个方程是圆的方程 . 点: 及二元二次 反过来给出一个形如 x2 + y2 + Dx + Ey + (1)① x2和 y2的系 方程表示圆 概念形成 F= 0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗? 数相同,不等于 0. 所满足的条 与深化 ②没有 xy 这样的二 件. 把 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得 次项. 22 (x D2)2 (y E2)2 D E4 4F ②(配方过 (2)圆的一般方程 程由学生去完成 ) 这个方程是不是表示 中有三个特定的系 圆? 数 D、 E、F,因此只 (1)当 D2 + E2 – 4 F0时,方程②表 要求出这三个系数, 圆的方程就确定 示以 ( D , E) 为圆心, 22 了. 1 1 D 2 E2 4F 为半径的圆; 2 (3)与圆的标准方 程相比较,它是一种 (2)当 D2 + E2 – 4F = 0 时,方程只有 实数解 x D,y E ,即只表示一个点 22 特殊的二元二次方 程,代数特征明显, DE ( 2 , 2); 圆的标准方程则指 (3)当 D2 + E2 – 4 F0时,方程没有 出了圆心坐标与半 实数解,因而它不表示任何图形 . 径大小,几何特征较 综上所述,方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 明显. 0 表示的曲线不一定是圆 . 只有当 D2 + E2 – 4 F0时,它表示的曲 线才是圆,我们把形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的表示圆的方程称为圆的一般方 程. 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆 学生自己分析探求 通过例题讲 的方程?如果是,请求出圆的圆心及半 解决途径:①用配方 解使学生理 径. 法将其变形化成圆 解圆的一般 (1)4x2 + 4 y2 – 4x + 12 y + 9 = 0 的标准形式 . ②运用 方程的代数 应用举例 (2)4x2 + 4 y2 – 4x + 12 y + 11 = 0 圆的一般方程的判 特征及与标 解析:(1)将原方程变为 断方法求解 . 但是, 准方程的相 x2 + y2 – x + 3 y + 9 = 0 4 要注意对于( 1)4x2 互转化更进 D = –1,E =3,F = 9. 2 + 4y – 4x + 12y + 一步培养学 4 9 = 0 来说,这里的 生探索发现 ∵D2 + E2 – 4F = 1 0 D= –1,E= 3,F 9 4 及分析解决 ∴此方程表示圆,圆心( 21, 32 ),半径 1 r = . 2 (2)将原方程化为 x2 + y2 – x + 3 y + 11 = 0 4 D = –1,E =3,F = 11

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