六年级奥数举一反三第37讲对策问题含答案.docx

PAGE PAGE # 第 37 讲 对策问题 一、知识要点 同学们都熟悉“田忌与齐王赛马”的故事，这个故事给我们的启示是：田忌采用了“扬 长避短”的策略，取得了胜利。 生活中的许多事物都蕴含着数学道理， 人们在竞赛和争斗中总是玩游戏， 大至体育比赛、 军事较量等，人们在竞赛和争斗中总是希望自己或自己的一方获取胜利，这就要求参与竞争 的双方都要制定出自己的策略， 这就是所谓“知己知彼， 百战不殆”。哪一方的策略更胜一筹， 哪一方就会取得最终的胜利。 解决这类问题一般采用逆推法和归纳法。 二、精讲精练 【例题 1】两个人做一个移火柴的游戏， 比赛的规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走 1 至 7 根火柴，直到移尽为止。 挨到谁移走最后一根火柴就算谁输。 如果开始时有 1000 根火柴， 首先移火柴的人在第一次移走多少根时才能在游戏中保证获胜。 先移火柴的人要取胜，只要取走第 999 根火柴，即利用逆推法就可得到答案。 设先移的人为甲，后移的人为乙。甲要取胜只要取走第 999 根火柴。因此，只要取到第 991根就可以了（如乙取 1 根甲就取 7根；如乙取 2根甲就取 6 根。依次类推，甲取的与乙 取的之和为 8根火柴）。由此继续推下去，甲只要取第 983根，第 975根，??第 7根就能保 证获胜。 所以，先移火柴的人要保证获胜，第一次应移走 7 根火柴。 练习 1： 1、一堆火柴 40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。每人每次可以拿 1 至 3 根，不许不拿，乙让甲先拿。问：谁能一定取胜？他要取胜应采取什么策略？ 2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过 8 的自然数，把两人报的数累加起来，谁 先报到 88，谁就获胜。问：先报数者有必胜的策略吗？ 3、把 1994 个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子，每人每 次可后移 1格、2 格、3格，谁先移到最后一格谁胜。先移者确保获胜的方法是什么？ 【例题 2】有 1987粒棋子。甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取 1粒，最多取 4粒， 不能不取，取到最后一粒的为胜者。现在两人通过抽签决定谁先取。你认为先取的能胜，还 是后取的能胜？怎样取法才能取胜？ 从结局开始，倒推上去。不妨设甲先取，乙后取，剩下 1至 4粒，甲可以一次拿完。如 果剩下 5 粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。因此甲想取胜，只要在某一时刻留下 5 粒棋子 就行了。不妨设甲先取，则甲能取胜。甲第一次取 2 粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己 的粒数与乙拿的粒数之和正好等于 5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是 5 的倍数，最 后总能留下 5 粒棋子，因此，甲先取必胜。 练习 2： 1、甲、乙两人轮流从 1993 粒棋子中取走 1 粒或 2 粒或 3 粒，谁取到最后一粒的是胜利 者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？ 2、有 1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取 1至 10根，谁能取到最后一 根谁为胜利者，甲先取，乙后取。甲有获胜的可能吗？取胜的策略是什么？ 3、盒子里有 47粒珠子，两人轮流取，每次最多取 5 粒，最少取 1 粒，谁最先把盒子的 珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后，谁胜？取胜的 策略是什么？ 【例题 3】在黑板上写有 999个数：2，3，4，??， 1000。甲、乙两人轮流擦去黑板上 的一个数（甲先擦，乙后擦） ，如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。谁必胜？必 胜的策略是什么？ 甲先擦去 1000，剩下的 998 个数，分为 499 个数对：（2，3），（4，5），（6，7），??（998， 999）。可见每一对数中的两个数互质。如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的 另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。所以， 甲必胜。 练习 3： 1、甲、乙两人轮流从分别写有 1，2， 3，??， 99 的 99 张卡片中任意取走一张，先取 卡的人能否保证在他取走的第 97 张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数， 一个是偶 数？ 2、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列 1，2，3，??， 100， 101勾去九个数。 经过这样的 11 次删除后，还剩下两个数。如果这两个数的差是 55，这时判第一个勾数的人 获胜。问第一个勾数的人能否获胜？获胜的策略是什么？ 3、在黑板上写 n—1（n 3）个数： 2，3，4，??， n。甲、乙两人轮流在黑板上擦去 一个数。如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。 N 分别取什么值时：（1）甲必胜？ （2）乙必胜？必胜的策略是什么？ 【例题 4】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过 10 的自然数，规定禁止在黑板上写