合同矩阵和相似矩阵.docx

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合同矩阵和相似矩阵 篇一:矩阵的合同 , 等价与相似的联系与区别 矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 20XX09113 李娟娟 一、基本概念与性质 (一)等价: 1、概念。若矩阵 A 可以经过有限次初等变换化为 B,则 称矩阵 A与 B 等价,记为 AB。 2、矩阵等价的充要条件: AB{同型,且人 r(A)=r(B) 存在可逆矩阵 P 和 Q,使得 PAQ=B成立 3、向量组等价,两向量组等价是指两向量组可相互表 出,有此可知:两向量组的秩相同,但两向量组各自的线性 相关性却不相同。 (二)合同: 1、概念,两个 n 阶方阵 A,B,若存在可逆矩阵 P,使得 ABPTAPB成立,则称 A,B 合同,记作 AB该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件:矩阵 A,B 均为实对称矩阵, 则 AB二次型 xTAx 与 xTBx 有相等的 E 负惯性指数,即有相 同的标准型。 三)相似 1、概念:n 阶方阵 A,B,若存在一个可逆矩阵 P使得 BP1AP 成立,则称矩阵 A,B 相似,记为 A~B。 2、矩阵相似的性质: AT~BT,Ak~Bk,A1~B1(前提, A,B 均可逆 ) |E-A||EB| 即 A,B 有相同的特征值(反之不成立) A~Br(A)=r(B) tr(A)tr(B) 即 A,B 的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件: 充分条件:矩阵 A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件: A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 (一)、矩阵相等与向量组等价的关系: 设矩阵 A(1,2,,n) , B(1,2,,m) 1、若向量组( 1,2,,m )是向量组( 1,2,,n )的极大线 性无关 组 , 则有 mn,即有两向量等价,而两向量组线性相关性 却不同,钱者一定线性无关,而后者未必线性无关。而矩阵 B与 A亦不同型,虽然 r(A)r(B) 但不能得出 AB。 2、若 m=n,两向量组( 1,2,,n )( 1,2,,m )则有矩阵 A,B 同型且 r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB 3、若 ABr(A)r(B) 两向量组秩相同,两向量组等价,即 有 AB(1,2,,n)(1,2,,n) 综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似,等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等 价关系,因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 相似等价: A~BA,B 同型且 r(A)r(B)AB 合同等价: ABA,B 同型且 r(A)r(B)AB 相似与合同之间一般情况不能递推,但有一下附加条 件时可以 Ⅰ、若 A,B 均为实对称矩阵,则有 A,B 一定可以 合同于对角矩阵当 A~B 时, |EA||EB| 二次型 f(x)XTAX 与 g(x)XTBX 有相同的标准型,即二者有相同的正负惯性指数 ABAB 即有 A~BABAB Ⅱ、存在一个正交矩阵 P,即 PTPE使得 PTAPB即 AB 则 有 1BPTAPPAP~A B即 有 ABA~B Ⅲ、若 A,B 实对称,且存在一个正交矩阵 P,则 A~B 时有 A~BABAB Ⅳ、 A~Br(A)r(B) 、ABr(A)r(B) 、 ABr(A)r(B) 下面讨论 r(A)r(B) 时 A~B,AB,AB 成立的条件。 由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的论述可知 存在正交矩阵 P 时,有 PTP1,则 r(PTAP)r(A) 记 BPTAP则 r(A)r(B) 此时 ABA~BAB 即 P 为正交矩阵时,由 r(A)r(B)A~B,AB,AB (三) 1、矩阵等价:①同型矩阵而言 一般与初等变换有关 秩是矩阵等价的不变量,同次,两同型矩阵相似的 本质是秩相等 2、矩阵相似:①针对方阵而言 ②秩相等是必要条件 ③本质是二者有相等的不变因子 3、矩阵合同:①针对方阵而言,一般是对称矩阵 ②秩相等是必需条件 ③本质是秩相等且存在惯性指数相等,即标准型同 由 以上知,秩是矩阵等价的不变量;不变因子是矩阵相似的不 变量;特征值是可对角化矩阵相似的不变量,存在负惯性指 数是对称矩阵合同的不变量,等价关于最弱、合同与相似是 特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价,而反之 不成立。相似与合同不可互推,需要一定的条件。而且相似 不一定会都与对角阵相似,不能与对角阵可看作同意线性变 换在不同基下的矩阵 篇二:矩阵的合同与相似及其等价条件 矩阵的相似与合同及其等价条件研究 (数学与统计学院 09 级数学与应用数学一班) 指导 老师:王晶晶 引言 矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重 要的概念,在线性代数的学习中,矩阵的相似与合同作为研 究工具,得到广泛的应用 [1-

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