第13章等腰三角形-复习讲义-数学八年级上册.docxVIP

等腰三角形 【知识梳理】 一、等腰三角形 1．等腰三角形的有关概念及分类 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形；等腰三角形分为腰和底 的等腰三角形和______三角形． 2．等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”)； (3)等腰三角形是轴对称图形． 3．等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”)． 二、等边三角形的性质与判定 1．等边三角形的性质 (1)等边三角形的内角相等，且都等于________；(2)等边三角形的三条边都________． 2．等边三角形的判定 (1)________相等的三角形是等边三角形； (2)________相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为________的等腰三角形是等边三角形． 三、线段的垂直平分线 1．概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫________． 2．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________． 3．判定：到一条线段的两个端点__________的点在线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合． 四、角的平分线 1．性质：角平分线上的点到角的两边的距离________． 2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的______上，角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合． 五、含30°的直角三角形 直角三角形中30°所对的边是斜边的一半 板块一、等腰三角形的性质与判定 例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )． A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 例2、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数. 解：AB=AC=BD，∴∠B=∠C，∠2=∠3．设∠2=x°=∠BAD，∠B=∠C=180°-2x，由三角形外角的性质得∠2=∠1+∠C，即x=30°+（180°-2x）解得x=70°，则∠2=70°． 例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC． 证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°. ∵ ， ∴ ∴ AD＝CD ∵ ， ∴ △ABD≌△CFD (2)∵△ABD≌△CFD ∴ BD＝FD. ∵ ∠FDB＝90°， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ BE⊥AC． 例4、如右图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD. 求证：(1)BC＝AD； (2)△OAB是等腰三角形． 证明：（1）∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD??????∴?∠D= ∠C=90°???在Rt△ACB和Rt △BDA中，AB= BA，AC=BD ，??∴△ACB≌△BDA（HL）????∴BC=AD；（2）由△ACB≌?△BDA 得∠C AB=∠D BA??????????????∴△OAB是等腰三角形 板块二、等边三角形的性质与判定 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F， AD交CE于H. （1）求证：△BCE≌△ACD； （2）求证：FH∥BD. （1）证明：和都是等边三角形 　　　∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60° 　　　∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD 在△BCE和△ACD中 ∴△BCE≌△ACD（SAS） （2）由（1）知△BCE≌△ACD 则∠CBF=∠CAH，BC=AC 又∵和都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上， ∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF， 在△BCF和△ACH中 ∴△BCF≌△ACH（ASA） ∴CF=CH， 又∵∠FCH＝60° ∴△CHF是等边三角形 ∴∠FHC＝∠HCD=60°， ∴FH∥BD 例2、已知：如右图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边 三角形．求证：(1)△AEF≌△CDE； (2)△ABC为等边三角形． 证明：（1）∵BF=AC，AB=AE