抛物线中的定值、定点问题.pdfVIP

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2020-12-22 发布于江西
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抛物线中的定值、定点问题.pdf

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。抛物线中的定值、定点问题 2 A(x ,y ) B(x ,y ) 例1 过抛物线y 2px(p 0)的焦点的一条直线和此抛物线交于，两点，求证： 1 1 2 2 y y p2. 1 2 【规范解答】 p p AB F( ,0) xmy y 2px2 证法一：因直线过焦点，可设其方程为，代入 2 2 p p 2 2 2 得y 2p(my ) ， y 2pmy p 0.该方程的两根就xmy 是两个交点A,B的纵坐标 2 2 y ,y ，由韦达定理：y y p2. 1 2 1 2 y2 y2 p A,B 1 2 F( ,0) 证法二：因在抛物线上，故可设A( ,y ),B( ,y ). 又，故 2p 1 2p 2 2 y2 p y2 p 1 2 A,F,B FA(  ,y ),FB(  ,y ),因三点共线，所以 2p 2 1 2p 2 2 y2 p y2 p (  )y (  )y1 2 2p 2 2 2p 2 1 2 y  y , 移项分解因式得：(y y p )(y y )0 ，其中故 1 2 1 2 1 2 y y p2. 1 2 证法三：如图1，过点A,B,F分别作准线的垂线，垂足为 A ,B ,F.要证明y y p2 ，只要证明 1 1 1 1 2 AF BF  FF .2 1 1 1 1 1 AF  AA ,12 ；同理34.而 1 AAF BBF 1800 AA BB （ ∥ ），故 1 1 1 1 12341800 ， 0 AFB 900 所以1390 .