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第七章 滤波器设计方法 7.0 引言 典型模拟因果滤波器设计 7.1 由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器 7.2 用窗函数法设计FIR滤波器 例 利用双线性变换法，设计一个Butteworth离散时间低通滤波器。技术指标： 3dB带宽的截止频率ωc=0.2π 10dB阻带边界频率ωs=0.4π 采样周期Td=1 第一步：将给定指标预畸变，转换为相应的连续时间低通指标； 得到： 第二步：根据连续时间低通指标设计归一化连续时间低通滤波器； 得到： 例(续) 取N=2。 二阶归一化Butterworth低通滤波器传递函数为： 第三步：利用频率转换求得满足给定指标的实际连续时间低通滤波器； 即： 第四步：利用双线性变换求得满足给定技术指标的离散时间滤波器传输函数。 得： 利用matlab设计IIR滤波器 给定信号： 要求设计一个二阶Butterworth滤波器，将cos5t的频率成分滤掉。 第一步，确定指标； 由于x(t)的高频成分是5rad/s，为了避免混叠，采样频率至少应为10rad/s，因此采样周期选取T=0.2s，滤波器截止频率ωc=2rad/s，则可以完全满足要求； 第二步，用matlab设计一个符合要求的低通滤波器； 命令如下： [z,p,k]=buttap(2);%creates a 2-pole filter [b a]=zp2tf(z,p,k); %convert z,p,n to a transfer function form wc=2;[b a]=lp2lp(b,a,wc);%transform the cutoff frequency to 2 T=0.2;[num den]=bilinear(b,a,1/T);%bilinear transform 利用matlab设计IIR滤波器(续1) 结果得到： num =[0.0302 0.0605 0.0302] den =[1.0000 -1.4514 0.5724] 也即设计的离散时间滤波器为： 离散时间滤波器频响： Ω |H| 利用matlab设计IIR滤波器(续2) 原信号： 滤波结果： n y[n] n x[n] 7.2 用窗函数法设计FIR滤波器 IIR滤波器的最大优越性是能够得到令人满意的幅频特性，但这些特性的获得往往是以牺牲相频特性为代价。也就是说，IIR滤波器存在非线性相位从而会使信号产生失真。 FIR滤波器则可以设计为线性相位。 FIR滤波器的设计过程不像IIR滤波器那样，先设计连续时间滤波器再离散化，而是直接根据指标直接找出可实现的函数，再用有限项的脉冲响应来逼近设计指标。 FIR滤波器设计的基本思路 一般根据指标，可以直接确定理想的所需频率响应： 7.40 式中傅立叶系数为： hd[n]其实也就是系统时域脉冲响应。由于频响是理想的，两个频带间往往不连续，因此其时域脉冲响应往往是无限长的。要得到有限长的脉冲响应，也就是要用一个有限长序列h[n]去逼近hd[n]。 一个最简单的办法，就是将hd[n]直接截断： 这种方法，也就相当于给hd[n]乘以一个窗函数：h[n]=hd[n]w[n] 其中： FIR滤波器的频响 根据傅立叶变换的时域乘积性质，FIR滤波器的频响理想滤波器的频响与窗函数频响的卷积： 这必定会使得得到的FIR滤波器频响与理想的存在一定误差。 ω Hd(ejω) ω W(ejω) H(ejω) ω Gibbs现象 误差的主要来源，是在第二章中已经讨论过的Gibbs现象。 由于突然截断，而造成截断点处9%的过冲现象，这是由傅立叶级数本身的原因造成的，因此无论取多少项数，都无法消除这一现象。 ω |W(ejω)| ω |W(ejω)| ω |W(ejω)| M=5 M=7 M=9 当截断长度M变化时，每个瓣的宽度和幅值都发生了变换，但面积却不变。 因此M增加，无法消除Gibbs现象，但可以将过冲限制在较小的频率范围内，使得过冲变窄。 要减小Gibbs现象，只能选用非突然截断的窗函数，但那样会造成过渡带特性变差。 * * 7.0 引言 严格说来，选频滤波器这一术语表示一个能让某些频率分量通过而完全拒绝其它频率成分的系统。 从广义上，任何能对某些频率进行修正的系统，都可以称为滤波器。 滤波器的作用，主要是阻止某些频率通过，或是让某些频率通过(虽然在滤波器中两者通常是并存的，不过经常侧重某一方面）。 离散时间滤波器的原理图如下： C/D D/C H(ejω) x[n] y[n] x[t] y[t] T T 如果输入是带限的，而采样频率又足够高，则整个系统可以视为一个LTI连续系统，其频响为： 7.1a 离散滤波器设计原理 对于满足(7.1a)的系统，可以通过关系式ω=ΩT直接将有效连续时间