4.3三角函数的图像与性质导学案.docx

§4.3 三角函数的图像与性质 2014高考会这样考 1.考查三角函数的图像： 五点法作简图、 图像变换、 图像的解析式； 2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等； 3.考查数形结合思想． 复习备考要这样做 1.会作三角函数的图像，通过图像研究三角函数的性质； 2.对三角 函数进行恒等变形，然后讨论其图像、性质； 3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思 想方法的应用． 1． “五点法 ”作图原理 在确定正弦函数 y＝sin x在[0,2 π上]的图像形状时， 起关键作用的五个点是 (0,0)、 2π，1 、 (π，0)、 32π，－ 1 、 (2π，0)．余弦函数呢？ 2． 三角函数的图像和性质 函数性质 y＝sin x y＝ cos x y＝ tan x 定义域 R R π {x|x≠ kπ＋2， k∈Z} 图像 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 π 对称轴： x＝ kπ＋2 (k∈Z)；对称中心： (kπ，0)(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)； π 对称中心： (kπ＋ 2π， 0) (k∈Z) 对称中心： k2π， 0 (k∈Z) 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间 [2kπ－2π， π 2kπ＋2](k∈Z)；单调 减区间 [2kπ＋2π， 2kπ 3π ＋ 2 ] (k∈ Z ) 单调增区间 [2kπ－ π， 2kπ ](k∈Z )； 单调减区间 [2kπ，2kπ＋ π](k∈ Z ) 单调增区间 (kπ－ 2π， kπ＋ 2π)(k∈Z)  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 [难点正本 疑点清源 ] 1． 函数的周期性 若 f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ) (ω0)，常数 T不能说是函数 f(ωx＋φ)的周期．因为 f(ωx＋ φ＋T)＝f ω x＋ ＋φ ，即自变量由 x 增加到 x＋ ， 是函数的周期． ω ω ω 2． 求三角函数值域 (最值 )的方法 利用 sin x、cos x 的有界性； 形式复杂的函数应化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式逐步分析 ωx＋φ的范围，根据正弦 函数的单调性写出函数的值域； 换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域 (最值)问题． 1． 设点 P 是函数 f(x)＝sin ωx (ω≠0)的图像 C 的一个对称中心，若点 P到图像 C 的对称轴 的距离的最小值是 π，则 f(x)的最小正周期是 ． 4 答案 π 1 解析 由正弦函数的图像知对称 中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的 41，故 f(x) 的最小正周期为 T＝4× π＝π. 4 2． y＝ 2－ 3cos x＋4 的最大值为 ，此时 x＝ . 3 答案 5 3π＋ 2kπ， k∈ Z 4 解析 当 cos x＋4π＝－ 1 时，函数 y＝ 2－3cos x＋ 4π取得最大值 5，此时 x＋4π＝ π＋2kπ 3 (k∈ Z )，从而 x＝ 4π＋ 2kπ，k∈ Z . 3．(2012 3． (2012 福·建 )函数 f(x) ＝ sin x－ 4 的图像的一条对称轴是 () π π π π A ．x＝4 B． x＝2 C．x＝－ 4 D ．x＝－ 2 答案 C 解析 方法一 ∵ 正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 3 3 3 3 π π 3 π 故令 x－ ＝ kπ＋ ，k∈ Z，∴x＝kπ＋ ，k∈Z. 4 2 4 π 取 k＝－ 1，则 x＝－ 4π. 方法二 用验证法． x＝， y＝ sin 4π－4π＝ x＝ ， y＝ sin 4π－4π＝ 0，不合题意，排除 A； x＝ ， y＝ sin 2－ 4 ＝ 22，不合题意，排除 B； x＝－ ， y＝ sin － 4π－ 4π＝－ 1，符合题意， C 项正确； x＝－ ππ 2－ 4 ＝ 22，不合题意，故 D 项也不正确． 4． 函数 4． 函数 y＝ tan π－ x 的定义域为 A ． A ． {x|x≠ kπ－ 4， k∈Z } π B． {x|x≠2kπ－4，k∈Z} C．{x|x C．{x|x≠kπ＋4π，k∈Z } D．{x|x≠ π 2kπ＋ ，k∈ Z} 4 答案 A 解析 令4π－ x≠kπ＋ 2π，k∈Z， π ∴ x≠kπ－4， k∈ Z. 5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为 若 cos α＝cos β，则 α－ β＝ 2kπ， k∈ Z； ②函数y＝2cos ②函数 y＝2cos 2x＋ 3π的图像关于 x＝1π2对称； ③函数y ③函数 y＝ cos(sin x)( x∈R )为偶函数； ④函数y＝ sin|x|是周期函数，且周期为 2π. ④函数 y＝ sin|x|是周期函数，且周期为 2π. A．①②