二项分布与超几何分布的区别与练习.docx

第 第 PAGE # 页 共 6 页 专题 : 超几何分布与二项分布 一．基本概念 超几何分布 一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n 件，其中恰有 X件次品，则事件 X=k 发生的概率 Ck Cn k 为： P(X=k)= CM CN M ,k= 0,1,2,3, ,m；其中， m = min M,n , 且 n N , M N . n,M,N N 为超 CNn 几何分布；如果一个变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量 X服从超几何分布 .其中， EX= n NM 二项分布 在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X, 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 P, 那么在 n 次独立重复试中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为： P(X=k)= C nkpk(1-p) n-k (k=0,1,2,3, ,n), 此时称随机变量 X 服从二项分布 . 记作： X B(n,p),EX= np “二项分布”与“超几何分布”的联系与区别 (1) “二项分布”所满足的条件 每次试验中，事件发生的概率是相同的； 是一种放回抽样 . 各次试验中的事件是相互独立的； 每 次试验只有两种结果， 事件要么发生， 要么不发生； 随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数 . (2) “超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是 不放回抽样 ，“当样本容量 很大时，超几何分布近似于二项分布 ; 典型例题 1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概 2 率为 2. 现有 10件产品，其中 6 件是一等品， 4件是二等品 . 3 (Ⅰ) 随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率； (Ⅱ) 随机选取 3件产品，其中一等品的件数记为 X ，求 X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取 3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率 . 2、第 26届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8月 12 日到 23日在深圳举行 , 为了搞好接待工作，组委会 在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者。将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单 位 :cm ）：若身高在 175cm以上（包括 175cm）定义为 高个子”，身高在 175cm以下（不包括 175cm）定义为“非高个子” , 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” . Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？ Ⅱ）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望 . 第 第 PAGE # 页共 6 页 3、在某校教师趣味投篮比赛中 ,比赛规则是 : 每场投 6 个球，至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖；2 否则不获奖 . 已知教师甲投进每个球的概率都是 2 ． 3 （Ⅰ）记教师甲在每场的 6次投球中投进球的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率； （Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中， 6 个球中恰好投进了 4 个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师 乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ 第 第 PAGE # 页 共 6 页 4、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检 1 测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售 . 已知某产品第一轮检测不合格的概率为 1 ，第二轮 6 1 检测不合格的概率为 1 ，两轮检测是否合格相互没有影响 . 10 Ⅰ）求该产品不能销售的概率； Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利 40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损 80 元（即获 利-80元） .已知一箱中有产品 4件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值 E（X）. 1分解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 1分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ????? 2 分 6 4 210 10 31315（ Ⅱ ） 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. 6 4 2 10 10 3 13 15 （ Ⅱ ） 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. P(X 0) CC43C3 60 C10 P(X 2) CC4C3 6 C10 故 X 的分布列为 310, P(X 1) CC4C3 6 30 C130 1 C40C63 , P(X 3) 4 6 2 C130 3 10 X 0 1 2 3 P 1 3 1 1 30 10 2 6