二面角(教师版).docx

二面角的求法 —、基本观点 .求二面角的主要方法： 定义法：①找(作)二面角的平面角； 【先证】 ②解三角形求出角。 【后算】 S宜一 公式法：设二面角的度数为 0，则COS 射影三角形 S侧面三角形 多用于求无棱二面角。 求作二面角的平面角 求作二面的平面角是解决二面角问题的关键， 也是难点，通过前面教学及习题涉及到的 作法有下面三种： 1?定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作 垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角 2?三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键 在找面的垂线. 3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交， 得到交线，交线所成 的角为二面角的平面角? 、求二面角的大小的基本方法为先证后算 ，即先由有关立几结论找出二面角的平面角 (大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角 例题解析 题3?如图，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂 直，AB=、2 , AF=1 , M是线段EF的中点。 (1)求证AM//平面BDE ; (2 )求二面角 A-DF -B的大小； (3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60 。 解：(I )记AC与BD的交点为0,连接0E, ??? 0、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形, ???四边形AOEM是平行四边形， ??? AM // OE。 ??? OE 平面 BDE , AM 二平面 BDE , ? AM // 平面 BDE。 (H )在平面AFD中过A作AS丄DF于S,连结BS, ?/ AB 丄 AF , AB 丄 AD , AD AF = A, ? AB丄平面ADF , ??? AS是BS在平面 ADF上的射影， 由三垂线定理得 BS丄DF。 BSA是二面角 A — DF — B的平面角。 在 Rt △ ASB 在 Rt △ ASB 中, AS =—,AB ?- tan ASB =、3,._ ASB = 60 , ?二面角 A — DF — B的大小为60o。 (川)设 CP=t(0t W2,作 PQ丄AB 于 Q,贝U PQ// AD , ??? PQ 丄 AB , PQ 丄 AF , AB AF=A , ? PQ丄平面ABF , QE二平面ABF , ? PQ丄 QF o 在 Rt △ PQF中，/ FPQ=60o, PF=2PQ o ??? △ PAQ为等腰直角三角形, PQ 又??? △ PAF为直角三角形, ? PF 二，（2-t）2 1 , 所以t=1或 所以t=1或t=3（舍去） 即点P是AC的中点。 (2 -t). 题5.如图所示， ADB和 CBD都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直， ADB = CBD =90 , AD 二 a （12求异面直线 AD、BC所成的角。 （II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时，厶PCD与 BCD所在 平面成45的二面角?; A C B B 解:/ADB =90 二 AD_BD | — AD_面CBD 解: 面ADB_面CBD，面ADB「面CBD = BD BC 二面CBD AD_BC=异面直线AD、BC所成角为90 。 4分 (II)过点P作PE_BD于E,过点E作EF_CD于F，连结PF。 面 ADB_ 面 面 ADB_ 面 CBD 面ADB -面CBD 二 PE_BD 口 PE丄面CBD CD 丄 EF BD ” EF是PF在 ，面CBD内射影, 二CD_PF =■ ■ PFE是二面角P -CD -B的平面角 EF_CD =PFE =45 。 设PB二x，则在Rt PEB中, 设PB二x，则在Rt PEB中, PE 二 BE i 、、2 x， 2 DE 在 Rt DFE 中, EF， 在Rt PEF中,EF 二 PE,x = (2 - .、2)a题6.四棱锥A — BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC _底面BCDE , 在Rt PEF中, EF 二 PE, x = (2 - .、2)a (I)证明：AD _CE ; (U)设CE与平面ABE所成的角为45：，求二面角C - AD - E的大 小的余弦值. 解：(1 )取BC中点F，连接DF交CE于点0 , Ev AB 二 AC , . AF _ BC , 又面 ABC _ 面 BCDE , AF _ 面 BCDE , E AF _CE . tan — CED =tan FDC —, 2 OED ODE =90、， DOE =90，即 CE _ DF , CE _ 面 ADF , CE _ AD . (2)在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为 G . DC18题图v CG _ A