二次根式及计算.docx

初中数学二次根式及计算 编稿老师 董志臣丨一校丨安宁i二校i黄楠丨审核i宋树庆 考点考纲要求 考点 考纲要求 分值 考向预测 二次根式 及计算 理解二次根式定义，理解最简二次 根式、冋类二次根式含义并能加以区 分； 能够进行二次根式的有关加减乘 除运算，以及化简求值； 掌握二次根式的特殊求值方法， 能 够运用二次根式的性质解决问题。 5?10 分 主要考查内容：二次根 式有意义的条件；二次 根式性质的运用； (ja)2与荷的化 简；二次根式的计算。 9111【至难麴点恳点突朋】 3 、二次根式的基本概念: 定义 一般地，形如a (a0)的代数式叫作二次根式。“ ”称为二次根号。 (当a0时， a表示a的算术平方根) 【要点诠释】 形如bja ( a0的式子也叫作二次根式； 二次根式a中的被开方数a，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但 必须满足a 0 二次根式的性质 r f— 非负性，、一 a表示a的算术平方根，因此、.a ( a 0是一个非负数; ( -.a)2 = a(a 0) a(a 0) ③ ^0^= a = 0(a 0); a(a 0) 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积; ab = a ? (a0, b0) ⑤商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术 平方 根。 根。 最简二次根式 必须同时满足下列条件 被开方数中不含开方开得尽的因数或因式； 被开方数中不含分母； 分母中不含根式。 【规律总结】在判断最简二次根式的过程中要注意： 在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； 2, 2, 【随堂练习】 (长宁区二模)下列二次根式中，最简二次根式是( A. 9xB. .. X2 A. 9x B. .. X2 3 C. D. .3a2b 均严，可化简;x答案：A. .. 9X X 32 均严，可化简; x C.X y x(x y) C. \ x = - X x = D. - 3a2b =|a|-、3b，可化简； 因此只有B是最简二次根式，故选 思路分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根 式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后， 若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 、二次根式的计算: 1.二次根式的加减法： 先把二次根式化成最简二次根式再合并冋类二次根式。 2.二次根式的乘除法： 二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方 根。 Va ?屁=Vab (a0, b 0) 二次根式的除法法则： 两个数的算术平方根的商， 等于这两个数的商的算术平方根。 = ￡( a? 0，b0) 【要点诠释】 (1)不是同类二次根式的不能合并，如： -3 5 * 8 ； (2)进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数,则应利用 (2)进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数, 则应利用 ■- a2 进行化简，即将根号内能够开得尽方的数移到根号外; （3） 进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算 术平方根的性质将其进行化简； （4） 在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算。 【随堂练习】 （白银）下列计算错误的是（ ） A. 2 一 3 , 6 B. 、2 , 3 、5 C. .12 . 3 2 D. /8 2 2 答案：B 例题1 （巴中）要使式子 有意义，则m 1m的取值范围是（A. m — 1 例题1 （巴中）要使式子 有意义，则 m 1 m的取值范围是（ A. m — 1 B. m— 1 C. m — 1 且 D. m— 1 且 m^1 思路分析：根据二次根式的性质和分式的意义, 可以求出x的范围。 答案：根据题意得：m+1%, m-1用，解得： 技巧点拨： 数是非负数。 被开方数大于或等于 0, 分母不等于0, m亠1且m鬥。故选D。 本题考查的知识点为：分式有意义的条件，分母不为 0; 二次根式的被开方 例题2 （吉林）若av 13 v b，且a, b为连续正整数，则 b2— a2= 。 思路分析：因为32v 13v 42,所以3v 13 v 4，求得a、b的数值，进一步求得问题的 答案即可。 答案：?/ 32v 13v 42,a 3v .13 v 4,即 a=3, b=4 , a b2— a2=7。故答案为 7。 技巧点拨：此题考查无理数的估算。利用平方估算出根号下的数值的取值， 进一步得出 无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法。 例题 3 （荆门）（1）计算：J24 — 4x L x （1— 丁2 ） 0； \ 3 \8 （2）先化简，再求值：