多元函数微分法及其应用总结计划.docx

第九章 多元函数微分法及其应用总结多元函数的概念 对应规则、定义域、值域、图形 lim f x, y 二重极限 x, y x0 , y0 的定义、与 lim f x 的区别 x x0 极限的计算（P61、P62、P63（6）） 二元函数的连续性 lim f x, y f x0 , y0 x, yx0 , y0 二元函数 f x, y 在区域 D 1 / 8 连续 在有界闭区域上的连续函 数 f x, y 的性质 有界性、有最值、介值性 多元初等函数 多元初等函数在其定义域内是连续函数 多元函数的偏导数 z f x, y 在点 x0 , y0 处对 x ， y 的偏导数 fx x0 , y0 ， f y x0 , y0 的定义 例如，计算 2 / 8 f x0 x, y0 f x0 x, y0 lim x x 0 z f x, y 在点 x0 , y0 处对 x ， y 的偏导数 fx x0 , y0 ， f y x0 , y0 的几何解释 f x, y 对 x ，y 的偏导数 f x x, y ， f y x, y 的定义 算法练习（ P69、1，4）多元函数的高阶偏导数 P69、6（1），7，8） 多元函数的全微分 z f x, y ， 3 / 8 dz fx x, y dx f y x, y dy 推广到更多元的函数 算法练习（P75、1（1）， 2，3） 多元复合函数的求导法则 树形法则（P82、1，3， 8，10） 隐函数求导法则 dy Fx 若 若  F x, y 0 ，则 dx Fy F x, y, z 0 ， z Fx z Fy 则 x Fz ， y Fz 算法练习（ P89、 1， 3 4 / 8 （补充计算 dz）） 多元函数求极值 算法练习（P118、2，5， 7，P116、例 7） 曲面 z f x, y 或者 F x, y, z 0 在 点 x0 , y0 , z0 的切平面方程、法线方程 算法练习（P99、例 6， 例 7，P100、8，9） 曲线 x x t ， y y t ， z z t 或者 y y x ， z z x 在点 x0 , y0 , z0 处的切线方程、法平面方程 5 / 8 算法练习（P94、例 4，P100、4） 例如，求曲线 x t ， y 2t 2 ， z t 3 的点，满足条件：该点切向量平行于平 面 x y z 1。 解：由于切向量为 1,4t,3t 2 ，垂直 于 1,1,1 ，所以 1 4t 3t 2 3t 1 t 1 0 t  1 3  或 者 t 1 ， 所 求 的 点 为 M 0 1,2, 1 1,2, 1 。 3 9 27 ，M1 6 / 8 例如，求一函数 z f x, y 使之满足条件 f xx x, y 1 ， f 0, y 1 ， fx 0, y y 。 解：由 fxx x, y 1得 f x x, y x ay b ， 由 fx 0, y y 得 a 1 ， b 0 ， fx x, y x y ， f x, y 1 x 2 xy cy d ， 2 由 f 0, y 1 得 c 0 ，d 1 ， 从而 f x, y 1 x 2 xy 1 。 2 7 / 8 8 / 8