垂径定理的四种应用技巧.ppt

习题课 阶段方法技巧训练（一） 专训 2 垂径定理的四种应用技巧 垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解 决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦 的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段 组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三 个量中知道任意两个，可求出第三个． 技巧 1 巧用垂径定理求点的坐标 1 ．如图所示，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (10 ， 0) ，点 B 的坐标是 (8 ， 0) ，点 C ， D 在以 OA 为直径的半圆 M 上， 且四边形 OCDB 是平行四 边形，求点 C 的坐标． 解： 如图，连接 CM ，作 MN ⊥ CD 于 N ， CH ⊥ OA 于 H . ∵四边形 OCDB 为平行四边形， B 点的坐标是 (8 ， 0) ， ∴ CD ＝ OB ＝ 8 ， CN ＝ MH ， CH ＝ MN . 又∵ MN ⊥ CD ， 1 ∴ CN ＝ DN ＝ CD ＝ 4. 2 易知 OA ＝ 10 ，∴ MO ＝ MC ＝ 5. 在 Rt △ MNC 中， MN ＝ CM 2 - CN 2 = 5 2 - 4 2 = 3 . ∴ CH ＝ 3 ，又 OH ＝ OM － MH ＝ 5 － 4 ＝ 1. ∴点 C 的坐标为 (1 ， 3) ． 技巧 2 巧用垂径定理解决最值问题 ( 对称思想 ) 2 ．如图， AB ， CD 是半径为 5 的⊙ O 的两条弦， AB ＝ 8 ， CD ＝ 6 ， MN 是直径， AB ⊥ MN 于点 E ， CD ⊥ MN 于点 F ， P 为直线 EF 上的任意一点，求 PA ＋ PC 的最小值． C 关于 MN 的对称点为点 D ，连接 AD ， 解： 如图，易知点 交 MN 于点 P ，连接 PC ， 易知此时 PA ＋ PC 最小且 PA ＋ PC ＝ AD . 过点 D 作 DH ⊥ AB 于点 H ， 连接 OA ， OC . 易知 AE ＝ 4 ， CF ＝ 3 ， 由勾股定理易得 OE ＝ 3 ， OF ＝ 4 ， ∴ DH ＝ EF ＝ 7 ，又 AH ＝ AE ＋ EH ＝ 4 ＋ 3 ＝ 7. ∴ AD ＝ 7 . 2 即 PA ＋ PC 的最小值为 7 . 2 本题运用了 转化思想 ，将分散的线段转 化为同一直线上的一条线段，然后运用勾股 定理求出线段的长度． 技巧 3 巧用垂径定理计算 3 ．如图， CD 为⊙ O 的直径， CD ⊥ AB ，垂足为点 F ， AO ⊥ BC ，垂足为 E ， BC ＝ 2 . 3 (1) 求 AB 的长； (2) 求⊙ O 的半径． 解： (1) 连接 AC ， ∵ CD 为⊙的直径， CD ⊥ AB ， ∴ AF ＝ BF ， ∴ AC ＝ BC . 延长 AO 交⊙ O 于 G ， 则 AG 为⊙ O 的直径，又 AO ⊥ BC ， ∴ BE ＝ CE ， ∴ AC ＝ AB . ∴ AB ＝ BC ＝ 2 . 3 (2) 由 (1) 知 AB ＝ BC ＝ AC ， ∴△ ABC 为等边三角形， ∵ AE ⊥ BC ， 1 ∴∠ EAB ＝∠ CAE ＝ ∠ CAB ＝ 30 ° . 2 即∠ OAF ＝ 30 °， 在 Rt △ OAF 中， AF ＝ 3 ， 易得 OA ＝ 2 ，即⊙ O 的半径为 2.