工程力学：10第十章 弯曲变形.ppt

由表6-1查得，因P2在C处引起的挠度和在B处引起的转角（d）为： 主轴的许用挠度和许用转角为： 故主轴满足刚度条件 （2）校核刚度 10-6 梁内的弯曲变形能 小变形，线弹性 外力偶作用下梁横截面转过的角度 外力偶的功 梁在纯弯曲时，外力偶做功转化为梁弯曲的应变能。 由W=Ve，并代入θ有 横力弯曲时，对于dx微段，忽略弯曲增量应变能有 全梁弯曲应变能可积分得到 全梁弯曲应变能由梁的挠曲线表示可写为 例题 弯曲刚度为EI的悬臂梁受一集中荷载F作用，如图所示，是求梁内积蓄的弯曲应变能，并利用功能原理求A端的挠度wA 解：梁的弯曲方程 梁内的应变能 荷载做的功 由功能原理 A端的挠度wA 作业 用叠加法计算A截面的挠度和转角，已知E、I 用叠加法计算B、D截面的挠度和转角，已知E=210GPa，I=1660cm4 第十章 梁弯曲时的位移 本章主要内容 弯曲变形的概念 梁的挠曲线近似微分方程 积分法求梁的变形 叠加法求梁的变形 梁的刚度校核 梁内的弯曲变形能 10-1 弯曲变形的概念 工程中的弯曲变形现象 N 10-2 梁的挠曲线近似微分方程 1、挠度与转角 梁轴线上的一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移称为该点的挠度 ，用w 表示。 比如，C 截面的挠度为 wC 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。 比如，C 截面的转角为 θC 挠度对坐标的一阶导等于转角 2、梁的挠曲线微分方程 假设梁的挠曲线微分方程为 第九章推导弯曲正应力公式时已知 不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况 依据高等数学，从几何方面看，平面曲线的曲率可写成 左式中由于略去剪力的影响，并略去了w的一次导数值，故称为挠曲线近似微分方程。 10-3 积分法求梁的变形 1、积分法的步骤 积分常数C和D的值可通过梁支承处已知的变形条件来确定，这个条件称为边界条件。 2、举例 以A为原点，取直角坐标系，x轴向右，y轴向上。 （1） 求支座反力 列弯矩方程 由平衡方程得： 列弯矩方程为： （2）列挠曲线近似微分方程 （3） 积分 （4）代入边界条件，确定积分常数 在x=0处： 将边界条件代入(c)、(d)得： 将常数 C 和 D 代入(c)、(d)得： （6）求最大转角和最大挠度 （5）确定转角方程和挠度方程 说明：转角为正，说明横截面绕中性轴顺时针转动；挠度为正，说明B点位移向下。 例10-2 一简支梁如图6-9所示,在全梁上受集度为 q 的均布载荷作用.试求此梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角|θ|max 和最大挠度|y|max 由对称关系得梁的两个支座反力为 以A点为原点，取坐标如图，列出梁的弯矩方程为： （2）列挠曲线近似微分方程 并进行积分 (1) 求支座反力，列弯矩方程 简支梁的边界条件是： 在两支座处的挠度等于零 在x = 0 处，wA=0 ； 在x = l 处，wB=0 （3）确定积分常数 边界条件代入（d），解得 将积分常数C，D代入式（c）和（d）得 （4）确定转角方程和挠度方程 由对称性可知，最大挠度在梁的中点处，将x=l/2代入（f），得： （5）求最大转角和最大挠度 又由图6-9可见，在两支座处横截面的转角相等，均为最大。由式（e） 3、分段积分问题 当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线方程也随之而异。 两个边界条件： 连续条件： AC段： 积分常数：C、D CB段： 积分常数：C?、D? D点的变形连续条件 边界条件 积分常数得以确定 梁的最大挠度与位置 梁的最大挠度应位于w／=0处。 当b无限小时， 跨中C点的挠度 10-4 叠加法求梁的变形 当梁上同时作用几个载荷时，梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。 叠加原理、叠加法 前提是小变形、线弹性 由叠加法得： 直接查表 10-5 梁的刚度校核 弯曲构件的刚度条件: 将吊车梁简化为如图例 6-12b所示的简支梁。 计算梁挠度的有关数据为： P = 50 + 5 = 55 kN （1）计算变形 由型钢表查得 因P和q而引起的最大挠度均位于梁的中点C，由表6-1查得： 由叠加法，得梁的最大挠度为： （2）校核刚度 将梁的最大挠度与其比较知： 故刚度符合要求。 吊车梁的许用挠度为： 将主轴简化为如图例6-13b所示的外伸梁，主轴横截面的惯性矩为 材料的弹性模量： （1）计算变形 由表6-1查出，因P1在C处引起的挠度和