《量子力学基础与固体物理学》ppt课件08.pptVIP

* 第二节 力学量取确定值的态 在实际问题中出现的波函数都不是严格意义的平面波，因为粒子总存在于一定的空间范围中，它的位置几率只能在空间某有限区域不为零。 为了解决连续谱的本征函数的归一化问题，量子力学利用deta函数来解决！ * 第二节 力学量取确定值的态 * 第二节 力学量取确定值的态 三维情况下 （2）箱归一化 平面波归一化的问题也可以采用“箱归一化”的办法 * * * 第二节 力学量取确定值的态 角动量算符 当位函数与时间无关时，力场叫保守力场。中心力场是保守力场中重要的一种类型。在中心力场中位能不仅与时间无关，而且与坐标r的方向无关。 在经典理论中，有心运动时，反映质点转动性质的物理量－角动量具有重要作用。同样，量子力学中，也有相应的物理量，而且也起着重要作用。 * 第四章 量子力学中的力学量 第一节 力学量和线性厄米算符 众所周知，物理性质是用力学量（物理量）加以描述的。但在量子现象中，力学量的取值情况与经典时的情况十分不同。 首先，它可以取不确定的值（取确定的值是它的特例），每个值均有一定的几率。 其次，尽管取不确定的值，但它们的平均值一般来说却是一个确定值！ * 第一节 力学量和线性厄米算符 一个可信服的理论体系，它应该至少能够从理论上给出以下物理信息： 1）可以预言出在一定宏观条件下实验上能测得的各力学量的全部可测量值； 2）能够给出各力学量在任意状态中的平均值。 为了做到这一点，量子力学假定（基本原理）： 力学量（一般为可观测量）总是可以用一个相应的线性厄米算符来描述。 * 第一节 力学量和线性厄米算符 线性厄米算符是一个经典理论中没有的全新的概念。波函数和线性厄米算符是量子力学中的两个最基本的概念。 能够表征可观测量的算符必须具有一定的性质。 由于我们有状态叠加原理，因此要求算符必须是线性的。 由于力学量的可测值和平均值都是实数，而本征值表示可测值，因此为保证本征值和平均值都是实数，必须要求算符是厄米算符！ * 第一节 力学量和线性厄米算符 厄米算符的定义： 如果对于任何可接受的波函数，都有 * 第一节 力学量和线性厄米算符 算符的一般运算规则 1）线形算符 凡满足下列运算规则的算符 ，称为线形算符 2）单位算符 3）算符之和 算符之和满足交换律和结合律 * 算符的一般运算规则 4）算符之积 一般来说 算符的幂 * 算符的一般运算规则 5）算符的逆 自己证明 预证明算符关系，只要让算符作用在各自运算对象波函数上，再比较作用结果，从而确定算符关系 * 算符的一般运算规则 6）算符的转置、复共轭及厄米共轭 * 算符的一般运算规则 对易子代数 为反映算符之积次序的不可交换性，定义了对易子 * 第一节 力学量和线性厄米算符 证明：两个厄米算符的乘积不一定是厄米算符 * 第一节 力学量和线性厄米算符 是厄米算符。 例如 却是厄米的，具有正确的经典极限，因此可以用它来描述物理可测量。 物理量的算符。因为它在任何态上的平均值都是一个常数 * 第一节 力学量和线性厄米算符 厄米算符的本征值 因为厄米算符的平均值总为实数，因此本征值a是实数 厄米算符的本征函数的正交性 * 第一节 力学量和线性厄米算符 * 第一节 力学量和线性厄米算符 本征值的本征函数，此时同样有 （Schmidt）正交化方法，选择出一组相互正交的本征函数。 总之，无论是否存在退化，我们总可以产生一组相互正交的本征函数系。 又因为，归一化总是可能的，因此对厄米算符总有可能构成正交归一的本征函数系。 * 第一节 力学量和线性厄米算符 厄米算符的本征函数的完备性 先考虑一下“空间”的概念！ 如何描述空间？ 位置不同！ 如何表示位置不同？ 一维、二维、三维、多维空间。 空间可以看成由于一系列“点”组成的， 也可以看成是由座标原点（零点）指向某一点的矢量组构成。其中每个矢量可以看成该空间的一个元素。 * 第一节 力学量和线性厄米算符 由所有可以接受的波函数及零函数构成的空间称为态空间。 线性厄米算符就是将态空间中的一个元素变成另一个元素。每个线性厄米算符（对应物理可测量）的本征函数均为正交归一函数系，它们可以作为态空间的基底。 态空间中的元素（波函数）称为“态矢”，它总可以向正交归一函数基底（基矢）展开 * 第一节 力学量和线性厄米算符 量子力学中恒认为：线形厄米算符的本征函数系不仅正交归一，而且完备。 “完备性”是整个量子理论的基石。 由完备性可以得到封闭关系。 * 第一节 力学量和线性厄米算符 * 第一节 力学量和线性厄米算符 具有如此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布。在物理上是一种理想的点模型。如果数学上不过分追求严格，它可以写成某种非奇异函数的极限来处理！ * 第一节