《量子力学基础与固体物理学》ppt课件09.pptVIP

* 第二节 力学量取确定值的态 －球谐函数 * 第二节 力学量取确定值的态 * 第二节 力学量取确定值的态 球谐函数满足正交归一化条件 而且具有完备性，即单位球面的非奇异函数总可以向球谐函数展开 其中 * 第二节 力学量取确定值的态 * 第二节 力学量取确定值的态 球谐函数具有下列性质 * 第二节 力学量取确定值的态 量子数l,m的物理意义及空间量子化 这就是“空间量子化” 空间量子化是相对经典的情况而言的。在经典时，轨道角动量的值可以取任意实数值。在L的大小一定时，其轨道平面法线方向可以取连续变化。 * 第二节 力学量取确定值的态 但在量子力学中，这种“轨道平面的空间方位却不能连续变化，只能取个别的几个方向。 亦即L在z方向上的投影只能取五个值。 2 1 m=0 -1 -2 * 第三节 展开假定 测量和连续谱 一、展开假定 如果量子体系并不处在某力学量算符F取确定值的态，那么在这个态上对F进行测量，其结果自然会得到一个取值的几率分布。 在量子力学的理论框架中如何给出取值几率分布的问题，被包括在基本原理－展开假定之中。 * 第二节 力学量取确定值的态 量子力学中的力学量（物理可测量）用线形厄米算符描述。 对某一量子状态，我们测量某一力学量F的值。在完全相同的条件下，对F进行大数量次的测量，或者对完全相同的大数量的量子状态，一次测量F，结果有两种可能情况： （1）测量的结果都是一个值fi，就是说这个态是力学量F取确定值的态，取值为fi。 （2）测量的结果并非只有一个值，而是f1， f2… fi，就是说这个态是对力学量F取不确定值的态。 * 第二节 力学量取确定值的态 譬如：进行N次测量（N是大数），如果得到fi值的次数是Ni（i=1,2,3…），则取值fi的几率W(fi)=Ni/N. 尽管这态对F不取确定值，但取值几率分布，从而平均值却是一个定值（只要宏观条件不变） 事实上，前面我们已经对一个重要的特定的物理量－能量，解决了取确定值的态－定态的问题。 要在理论上给出定态及实验上全部可测量值，只要求解定态薛定鄂方程(能量算符的本征方程)就可以了！ 对任意力学量F的取确定值的态，情况完全类似。 * 第二节 力学量取确定值的态 基本假定： 任意力学量F用线形厄米算符来描述，该力学量F取确定值的状态波函数就是算符F的本征函数。 相应的取值就是该本征函数对应的本征值，实验上得到全部测量值就是算符F的本征值谱！ 这样就把物理问题归结到求解“本征问题”上。 下面，我们就三个基本的物理量应用此假定分别讨论 * 第二节 力学量取确定值的态 坐标算符 （1）定义： 推广之：任何只是坐标函数的力学量所对应的线形厄米算符（如位能），当其作用到波函数上时，相当于简单地用这个坐标函数乘以这个波函数，即 * 第二节 力学量取确定值的态 （2）对易关系 （3）本征方程 坐标算符的本征值谱是连续谱 亦即坐标算符的本征函数是 * 第二节 力学量取确定值的态 动量算符 （1）定义： 动量算符用坐标自变量表示时为 （2）对易关系 海森堡对易关系 * 第二节 力学量取确定值的态 * 第二节 力学量取确定值的态 （3）本征方程 * 第二节 力学量取确定值的态 本征函数为 本征值为 的本征值谱为连续谱，c1,c2,c3均为常数 * 第二节 力学量取确定值的态 三维本征函数为 C为归一化常数 （3）动量算符本征函数的归一化问题 连续谱的本征函数不能用前面的方法归一化 * 第二节 力学量取确定值的态 在实际问题中出现的波函数都不是严格意义的平面波，因为粒子总存在于一定的空间范围中，它的位置几率只能在空间某有限区域不为零。 为了解决连续谱的本征函数的归一化问题，量子力学利用deta函数来解决！ * 第二节 力学量取确定值的态 * 第二节 力学量取确定值的态 三维情况下 （2）箱归一化 平面波归一化的问题也可以采用“箱归一化”的办法 * * * 第二节 力学量取确定值的态 角动量算符 当位函数与时间无关时，力场叫保守力场。中心力场是保守力场中重要的一种类型。在中心力场中位能不仅与时间无关，而且与坐标r的方向无关。 在经典理论中，有心运动时，反映质点转动性质的物理量－角动量具有重要作用。同样，量子力学中，也有相应的物理量，而且也起着重要作用。 * 第二节 力学量取确定值的态 应用算符化规则得到量子力学中的角动量算符 * 第二节 力学量取确定值的态 球坐标系中 * 引入球面拉普拉斯算子 * 第二节 力学量取确定值的态 经典中L的大小和方向可以完全确定。 量子力学中不可能完全确定L的方向。我们可以同时确定L的大小和在某一空间方向（一般约定为z方向）的大小。 * 第二节 力学量取确定值的态 （2）对易关系 z x y * 第二节 力学量取确定值的态 可以统