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等价无穷小在解题中的应用 工程与设计学院 数学111本 摘要：本文重点研究解决极限问题中的等价无穷小的应用，在高等数学学习中这对于学习和解决极限问 题的能力有促进作用. 关键字：等价无穷小；极限；替换;应用 引言 极限理论与计算是高等数学的重要内容之一, 而等价无穷小在求极限的运算过程中具有 极好的性质.因此，必须掌握等价无穷小的概念并充分利用好的它的性质， 可以使一些复杂 .. x(1 cosx) 的极限计算问题简单化，达到简化目的?比如，求这样一个极限问题，lim X 2 x 0 (1 e )sin x 它是一个0型的不定式极限，若用洛必达法则求极限则原式 0 -型的01 -型的 0 =||耳 2 x 2 沢，在对分子分母求一阶导后仍然是一个 x 0 2xcos x e (sin x 2xcosx ) 极限，再用洛必达法则，对分子分母进行第二次求导，则原式 = lim 2x 0 = lim 2 x 0 2cosx 2 2 4x sinx 2sin x xcosx ex[(1 4x2)sin x2 (4x 2)cosx2] 显然二 阶导后依然是0型不定式极限，继续求，计算过程将会相当繁琐，并且很难求出结果。但是, 0 若果用等价无穷小替换求此极限，则原式 =lim x T= — ?由上面的解题过程可见，在用 x 0 x x2 2 等价无穷小替换求解两步即可， 明显优于洛必达法则求极限.所以在求解函数极限的过程中 必须熟练并准确运用等价无穷小性质解题， 便可达到事半功倍的效果。本文就是通过对等价 无穷小概念及其性质的理解，讨论等价无穷小在乘除运算、和差运算、 幕指函数、变上限积 分和级数敛散性中极限函数的应用及其相关注意点. 2等价无穷小在解题中的应用 2.1等价无穷小在乘除极限运算中的代换 根据等价无穷小的定义，在求0型的乘除式极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变.下 0 面给出最常用的等价关系： 当 x o 时 x : sin x : tanx : arctanx : arcsinx : In 1 x x.a 1 x .a 1 1 : ln a 1 x 1 , 1 2 其中 a 0, b 0).还有 1 cosx : — x 设函数f (x), g(x) , h(x)在U°(X0)上有定义，且有 (1若lim f(x)h(x)x xA，则 lim g(x)h(x) A ；x 冷(2)若lim 竺 B，x x0 f(x)(i)lim g(x)h(x) limx x0g(x) lim f (x)h(x)x x) f (x) x x1 A A (1若 lim f(x)h(x) x x A，则 lim g(x)h(x) A ； x 冷 (2)若 lim 竺 B， x x0 f(x) (i) lim g(x)h(x) lim x x0 g(x) lim f (x)h(x) x x) f (x) x x 1 A A. (ii)lim 凹 x x g(x) lim 3 x 冷 g(x) 求limac哑 x 0 sin4x 由于 arcta nx : x x 0 ,sin4x : 4x .故由定理1得 arcta nx x lim lim x 0 sin4x x 4x 利用等价无穷小代换求极限 tanx sinxlim 3 . x 0 sinx si nx 1 cosx ，而 cosx 由于 tanx sinx 故有 sin x : x x 0 ,1 cosx : x2 3 3 x 0 ,sinx : x tan x sin x lim 3— x 0 sin x 2 x 3 cosx x 2.2等价无穷小在和差运算中的代换 对0型乘除运算求极限，利用等价无穷小代换简便而有效 0 慎.女口，在利用等价无穷小代换求极限时 ，应注意：只有对所求极限中相乘或相除的因子才能 .而对加减运算则需格外谨 用等价无穷小替换而对极限式中相加或想减的部分则不能随意替换 .如在例4中若因有 tanx : x x 0 , sin x : x x 0 十〃、「 tanx sinx x x 而推出lim 3 =lim 3 0,则得到的是错误的结果 注意到limX Xo g注 显然条件limX Xolimx X)flimX X).. g limx X)g1 lim-1X Xo flim^ 注意到lim X Xo g 注 显然条件 lim X Xo lim x X)f lim X X) .. g lim x X) g 1 lim-1 X Xo f lim^ x Xo f lim § X X0 g 1 lim X X0 g lim 1可换为lim 1 1.易知若无穷小 x xo g x xo g1 为正（负）,且极限lim X Xo g X Xo 或lim 1