上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题12 图形的性质之解答题(50道题)(解析版).pdf

专题12 图形的性质之解答题 参考答案与试题解析 一．解答题（共50小题） 1．（2018•上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC 与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F． （1）如 1，如果AC＝BD，求弦AC 的长； （2）如 2，如果E为弦BD 的中点，求∠ABD 的余切值； （3）联结BC、CD、DA，如果BC 是⊙O 的内接正n边形的一边，CD是⊙O 的内接正（n+4）边形的 一边，求△ACD 的面积． 【答案】解：（1）∵OD⊥AC， ∴ ，∠AFO＝90°， 又∵AC＝BD， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°， ∵AB＝2， ∴AO＝BO＝1， ∴AF＝AOsin∠AOF＝1 ， 则AC＝2AF ； （2）如 1，连接BC， ∵AB 为直径，OD⊥AC， ∴∠AFO＝∠C＝90°， ∴OD∥BC， ∴∠D＝∠EBC， ∵DE＝BE、∠DEF＝∠BEC， ∴△DEF≌△BEC （ASA）， ∴BC＝DF、EC＝EF， 又∵AO＝OB， ∴OF是△ABC 的中位线， 设OF＝t，则BC＝DF＝2t， ∵DF＝DO ﹣OF＝1﹣t， ∴1﹣t＝2t， 解得：t ， 则DF＝BC 、AC ， ∴EF FC AC ， ∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠D， 则cot∠ABD＝cot∠D （3）如图2， ∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边， ∴∠BOC 、∠AOD＝∠COD ， 则 2 180， 解得：n＝4， ∴∠BOC＝90°、∠AOD＝∠COD＝45°， ∴BC＝AC ， ∵∠AFO＝90°， ∴OF＝AOcos∠AOF ， 则DF＝OD﹣OF＝1 ， ∴S AC•DF （1 ） ． △ACD 【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形 的判定与性质及三角函数的应用等知识点． 2．（2017•上海）已知：如图，四边形ABCD 中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD 是正方形． 【答案】证明：（1）在△ADE 与△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBD， ∴∠CDE＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∵AD＝CD， ∴BC＝AD， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵AD＝CD， ∴四边形ABCD 是菱形； （2）∵BE＝BC ∴∠BCE＝∠BEC， ∵∠CBE：∠BCE＝2：3， ∴∠CBE＝180 45°， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABE＝45°， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 3．（2019•杨浦区三模）已知，在△ACB 和△DCE 中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，M 为 DE 的中点，联结BE． （1）如图1，当点A、D、E在同一直线上，联结CM，求证：CM ； 2 2 2 （2）如图2，当点D在边AB 上时，联结BM，求证：BM ＝（ ）+ （ ） ． 【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC， ∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠