中考数学分类汇编 3.5正方形的性质与判定(2017年).pdf

1. (2017四川省南充市) 如图，在正方形 ABCD 中，点E、G 分别是边 AD、BC 的中点，AF AB． （1）求证：EF⊥AG ； （2）若点F、G 分别在射线 AB、BC 上同时向右、向上运动，点 G 运动速度是点 F 运动速度的 2 倍，EF⊥AG 是否成立（只写结果，不需说明理由）？ （3）正方形ABCD 的边长为 4，P 是正方形 ABCD 内一点，当 S =S ，求△PAB 周长的最小值． △PAB △OAB 答案：考点 LO ：四边形综合题． 分析 （1）由正方形的性质得出AD=AB，∠EAF ∠ABG=90 °，证出 ，得出△AEF∽△BAG， 由相似三角形的性质得出∠AEF ∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90 ° 即可； （2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF ∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结 论； （3）过O 作 MN ∥AB，交AD 于 M，BC 于 N，则MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点 P 在 线段 MN 上，当 P 为 MN 的中点时，△PAB 的周长最小，此时 PA=PB，PM MN=2，连接 EG，则 EG ∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出 ，证出 ，得出 AM AE ， 由勾股定理求出PA，即可得出答案． 解答 （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB，∠EAF ∠ABG=90 °， ∵点E、G 分别是边 AD、BC 的中点，AF AB． ∴ ， ， ∴ ， ∴△AEF∽△BAG， ∴∠AEF ∠BAG， ∵∠BAG+∠EAO=90 °， ∴∠AEF+∠EAO=90 °， ∴∠AOE=90 °， ∴EF⊥AG ； （2）解：成立；理由如下： 根据题意得： ， ∵ ， ∴ ， 又∵∠EAF ∠ABG， ∴△AEF∽△BAG， ∴∠AEF ∠BAG， ∵∠BAG+∠EAO=90 °， ∴∠AEF+∠EAO=90 °， ∴∠AOE=90 °， ∴EF⊥AG ； （3）解：过O 作 MN ∥AB，交 AD 于 M，BC 于 N，如图所示： 则 MN⊥AD，MN=AB=4， ∵P 是正方形 ABCD 内一点，当 S =S ， △PAB △OAB ∴点P 在线段 MN 上，当 P 为 MN 的中点时，△PAB 的周长最小， 此时 PA=PB，PM MN=2， 连接 EG、PA、PB，则 EG ∥AB，EG=AB=4， ∴△AOF∽△GOE， ∴ ， ∵MN ∥AB， ∴ ， ∴AM AE ×2 ， 由勾股定理得：PA ， ∴△PAB 周长的最小值=2PA+AB +4． 20171012131129984100 3.5 正方形的性质与判定 复合题 基础知识 2017-10-12 2. (2017四川省南充市) 如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG 绕 2 2 2 2 点 C 旋转，给出下列结论：①BE=DG ；②BE⊥DG ；③DE +BG =2a +b ，其中正确结论是 （填 序号） 答案： ①②③ 考点 R2 ：旋转的性质；KD ：全等三角形的判定与性质；LE ：正方形的性质． 分析由四边形ABCD 与四边形 EFGC 都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用 SAS 得到 三角形 BCE 与三角形 DCG 全等，利用全等三角形对应边相等即可得到 BE=DG，利用全等三角形对 应角相等得到∠1 ∠2，利用等角的余