中考数学分类汇编 9几何综合题、代数和几何综合题(2015年).pdf

1. (2015 湖南省怀化市) 如图，已知Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 以每秒1个单 位的速度从A 向C运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都 停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒． （1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值； （2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式； （3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时 的t值；若不存在，请说明理由（ ≈2.24，结果保留一位小数） 答案：解：（1）如图1，过Q作QE⊥AC于E，连接PQ， ∵∠C=90°， ∴QE∥BC， ∴△ABC∽△AQE， ∴ ， ∵AQ=2t，AP=t， ∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∴ ， ∴PE= ，QE= ， ∴PQ=QE+PE，2 2 2 ∴PQ= t， 当Q与B重合时，PQ 的值最大， ∴当t=5时，PQ 的最大值=3 ； （2）如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积=S ， △AQP 当Q AB边上时，S= AP•QE= t• = ，（0＜t≤5） 当Q BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积=S ， 四边形ABQP 2 ∴S =S ﹣S = ×8×6﹣ （8﹣t） （16﹣2t）=﹣t+16t﹣40，（5＜t≤8）； 四边形ABQP △ABC △PQC 2 ∴经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式：S= 或S=﹣t+16t ﹣40． （3）存在，如图2，连接CQ，PQ， 由（1）知QE= ，CE=AC ﹣AE=8﹣ ，PQ= t， ∴CQ= = = =2 ， ①当CQ=CP 时， 即：2 =8﹣t， 解得；t= ， ②当PQ=CQ 时， 即； t=2 ， 解得：t= ，t= （不合题意舍去）， ③当PQ=PC 时， 即 t=8﹣t， 解得：t=3 ﹣5≈1.7； 综上所述：当t= ，t= ，t=1.7时，△PQC为等腰三角形． 2. (2015 湖北省襄阳市) 边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是 边OA 的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C， E两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P从点C 出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作 PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？ （3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D， E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明 理由． 答案：解：（1）过点E作EG⊥x轴于G点． ∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA 的中点， ∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°． ∵∠CDE=90°， ∴∠ODC+∠GDE=90°． ∵∠ODC+∠OCD=90°， ∴∠OCD=∠GDE． 在△OCD和△GED 中 ， ∴△ODC≌△GED （AAS）， ∴EG=OD=1，DG=OC=2． ∴点E 的坐标为（3，1）． ∵抛物线的对称轴为直线AB 即直线x=2， ∴可设抛物线的解析式为y=a （x﹣2）+k，2 将C、E点的坐标代入解析式，得