2007高中数学新题型选编.docx

1已知函数y= f (x)满足f 3-x二f 3 x , 且方程f(X)=0有n个实根Xi,X2,…Xn, 贝V X1+X2+ …+xn= 3n 。 解：由f3-x=f3，x可得y= f (x)的图像图像关于x=3对称。 当n为偶数时，方程 f (x) =0有n个实根x1,x2，-xn两两成对出现，且成对两根之和为 6, 所以 x什X2+…+xn=6 X — =3n 2 当n为奇数时，方程f (x) =0有n个实根中必有一根为 3,其余n-1个根两两成对出现， 且成对两根之和为 6,所以X1+X2+…+xn=3+3 (n-1) =3n 故 X1+X2+…+Xn=3n。 2、 对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色 中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色.则共有—30 种不同的染 色方法。 解：记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤ 第一步：将五边分成三组且相邻边不在同一组，则有 ①、②④、③⑤ ②、①④、③⑤ ③、①④、②⑤ ④、①③、②⑤ ⑤、①③、②④ 故共有五组 TOC \o 1-5 \h \z 第二步：将三种颜色对应三组进行全排列 A 3=6 由分步计数原理得共有5X 6=30种。 2 1时 3、 女口图1，设P、 Q ABC 内的两点，且AP AB ? AC , 5 5 2 1 AQ = — AB + — AC则厶ABP的面积与厶ABQ的面积之比为 (B ) 3 4 14 11 A. B. C. D.- 5 5 4 3 解：如图2设图12 1 ~AM AB, AN AC 贝V AP = 解：如图2设 图1 2 1 ~ AM AB, AN AC 贝V AP = AM AN 5 5 由平行四边形法则知 NP // AB , 所以出聖 卫ABC an AC 1，同理可得-^ABQ 1 5 ABC 4 故上BP ABQ 4 即选B. 5 4、设 x1 , S=min {logx2, log2 (4x3)}贝V S 的最大值为 3 解：由题设知 SW logx2, SE log2 (4x3),且 S0 则 TOC \o 1-5 \h \z 3 3 S_ log2 (4x‘)=2+3log 2X=2+ 2+ , \o Current Document logx2 S 于是S2-2S-3 _0得-1 _S _3当x= 3 2时取等号。 5、在直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,1)和点B(-3,4) , C点在AB上且OC是/ AOB勺角平 ■■ 1 3 分线,则 OC=— (- 1, 3 ) _。 —2 2 解：由题设知 Oa= (0, 1), OB= (-3 , 4) jOC是/ AOB的角平分线■可设 jOC是/ AOB的角平分线 ■可设OC = ■ =OA+1 ■ OB 5 又C点在AB上 TOC \o 1-5 \h \z 1 5 所以? +1，=1解得，=5 , .6 故 oc=5oA+1ob=(-—,—) 6 2 2 6、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各 个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数?所有这样的递降正整数 的个数为(D ) (A) 1001 (B) 1010 (C) 1011 ( D) 1013 2 2 解：当正整数为两位数时，有 C10个 当正整数为三位数时，有 C；。个 当正整数为十位数时，有 Cw个 由分类计数原理得共有正整数 G： +梯+…+ Cw =210-C10-C100=1O13 故选D。 7、已知 si n(2 二 =3sin :，设 tan： = x, ta n ：二 y ,记 y = f(x) (1)求证：tan 住亠 l j=2tan .：s ⑵求f (x)的表达式; 1 1 rn 摘 ⑶定义正数数列｛ an｝ ;ai=2, =2一 ■ f 一 (n已N*)。 an + an lan / 试求数列｛an｝的通项公式。 解：(1)由 sin(2a + P) =3sin P，得 sin L +(o( + P jl=3sin 炉 + P )—a ］，即 sin G 亠卩］cos J =2cos i 很亠 P jsin 二 故tan ［很亠卩］=2tan二 (2)由 tan ［二亠 I〕；〕=2tan :?得 tan 一 二 2 tan「 即—— =2x。解得 1 -tan。tan P 1 -xy y=x1 2x y= x 1 2x2 1 2x2 (3)因为 1 1 所以 a21=2a2+1 即a21-2= 2(a2-2) an an 2 1 因此｛an -2｝是首项为2，公比为一的等比数列。 2 所以 a2 -2=2 1 n 2 平面直角坐标系中， =,OA「OB,其中 求点 OC (1) (2)