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第一章
习题 1 证明 e 恒等式 eijk eist js kt ks jt
[ 证明 ]
ii is it
e e
ijk ist ji js jt
ki ks kt
ii js kt ks jt ji is kt ks it ki is jt js it
3 3
js kt ks jt js kt ks jt ks jt js kt
js kt ks jt
q
习题 2 证明若 o y ，则 a ij bij 0
[ 证明 ]
a ij a ji ; b ij b ji aij bij a ji b ji ， aij bij a ji b ji aij bij a pq bpq 0
又因为所有的指标都是哑指标， a pq b pq aij bij ，所以 2aijbij 0 ，即 a ij bij 0
习题 3 已知某一点的应力分量 xx ， yy ， zz ， xy 不为零，而 xz yz 0 ，试求过该点和 z 轴，与
x 轴夹角为 的面上的正应力和剪应力。
[解 ] 如图 1.1，过该点和 z 轴，与 x 轴夹角为 的面的法线，其与 x 轴， y 轴和 z 轴的方向余弦分别为
cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式， ( ) j i ij ，可求得该面上的应力为
cos sin c o s s i n 0
( ) 1 j 1j xx xy ( ) 2 j 2 j yx yy (v )3 j 3j
由斜面正应力表达式 n ij i j ，可求得正应力为
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