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矩阵的特征值的含义转矩阵的特征值的含义转 2011-03-0716:09 特征值就是那个矩阵所 对应的一元多次方程组的根特征值表示一个矩阵的向量被拉伸或压缩的程度例如特征值为 1111111111 则表示经过变换以后向量没有被拉伸在物理上表示做刚体运动相当与整体框架 做了变动但内部结构没有变化 . 量子力学中矩阵代表力学量矩阵的特征向量代表定态波函 数矩阵的特征植代表力学量的某个可能的观测值。 一个向量或函数被矩阵相乘表示对这个向 量做了一个线性变换。 如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数这个常数就叫特征值。 这 是特征值的数学涵义至于特征值的物理涵义根据具体情况有不同的解释。 比如动力学中的频 率稳定分析中的极限荷载甚至应力分析中的主应力矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变 换入手把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵最简单的线性变换就是数乘变换 求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变 换特征值就是这个数乘变换的变换比这样的一些非零向量就是特征向量其实我们更关心的 是特征向量希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和这样我们 的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行这和物理中在研究运动的时候将运动分解成 水平方向和垂直方向的做法是一个道理用 matlab 求矩阵最大特征值的特征向量用函数 VDeigA 矩阵 D 的对角元存储的是 A 的所有特征值而且是从小到大排列的矩阵 V 的每一列存 储的是相应的特征向量所以应该是 V 的最后一个列就是最大特征值的特征向量特征向量 -定 义数学上线性变换的特征向量本征向量是一个非退化的向量其方向在该变换下不变。 该向量 在此变换下缩放的比例称为其特征值本征值。 图 1 给出了一幅图像的例子。 一个变换通常可 以由其特征值和特征向量完全描述。 特征空间是相同特征值的特征向量的集合。 这些概念在 纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用 -在线性代数泛函分析甚至在一些非线性的 情况中也有着显著的重要性。特征一词来自德语的 eigen。1904 年希尔伯特首先在这个意义 下使用了这个词更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。 eigen 一词可翻译为自身的 特定于 .的有特征的或者个体的 -这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。空间上的变 换-如平移移动原点旋转反射拉伸压缩或者这些变换的组合以及其它变换 -可以通过它们在 向量上的作用来显示。 向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。 矩阵特征向量 -性质 1 变 换的特征向量是指在变换下不变或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。 特征向量的特征 值是它所乘的那个缩放因子。 特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间还 包括零向量但要注意零向量本身不是特征向量。 变换的主特征向量是对应特征值最大的特征 向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。 有限维向量空间上一个变换的谱是其所有 特征值的集合。例如三维空间旋转的特征向量是沿着旋转轴的一个向量相应的特征值是 1 相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。 该特征空间是一个一维空间因而特征值 1 的几 何重次是 1。特征值 1 是旋转的谱当中唯一的实特征值。特征向量 -参看 : 特征平面例子随着 地球的自转每个从地心往外指的箭头都在旋转除了在转轴上的那些箭头。 考虑地球在一小时 自转后的变换 : 地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量但是从地心指向赤道任 何一处的箭头不会是一个特征向量。 因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸它的特征值 是 1。另一个例子是薄金属板关于一个固定点均匀伸展使得板上每一个点到该固定点的距离 翻倍。这个伸展是一个有特征值 2 的变换。 从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向 量而相应的特征空间是所有这些向量的集合。 但是三维几何空间不是唯一的向量空间。 例如 考虑两端固定的拉紧的绳子就像弦乐器的振动弦那样图 2.。振动弦的原子到它们在弦静止时 的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量那个空间的维数就是弦上 原子的个数。 如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换它的特征向量或者说特征函数如果将绳 子假设为一个连续媒介就是它的驻波 -也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的 拨动声的振动。 驻波对应于弦的特定振动它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子特 征值。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。 驻波的振幅特征值在考 虑到阻尼的情况下逐渐减弱。 因此可以将每个特征向量对应于一个寿命并将特征向量的概念 和共振的概念联系起来。 特征向量 -特征值方程从数学上看如果向量 v 与变换满足则称向量 v 是变换的一个特