中考数学相似综合试题及答案.docx

中考数学 相似综合试题及答案 一、相似 1．如图,在一个长 40 m、宽 30 m 的矩形小操场上 ,王刚从 A点出发 ,沿着 A→ B→C的路线以 3 m/s 的速度跑向 C地.当他出发 4 s后,张华有东西需要交给他 ,就从 A 地出发沿王刚走的路 线追赶 ,当张华跑到距 B地 2 m的 D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上 1）此时两人相距多少米 （DE的长 ）? 2）张华追赶王刚的速度是多少 ? 答案】 （1）解：在 Rt△ ABC中： ∵AB=40， BC=30， ∴ AC=50 m. 由题意可得 DE∥AC， ∴Rt△ BDE∽ Rt△BAC， ∴ = ， 即 = . 解得 DE= m. 答：此时两人相距 m. （2）解：在 Rt△ BDE中： ∵DB=2 ， DE= ， ∴ BE=2 m. ∴王刚走的总路程为 AB+BE=42 m. ∴王刚走这段路程用的时间为 =14（s）. ∴张华用的时间为 14-4=10（s） ， ∵张华走的总路程为 AD=AB-BD=40-2 =37 （m ） ∴张华追赶王刚的速度是 37 ÷ 10 ≈（3.m7/s） . 答：张华追赶王刚的速度约是 3.7m/s. 【解析】 【分析】（ 1）在 Rt△ABC中，根据勾股定理得 AC=50 m，利用平行投影的性质得 DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得 DE长 . （2）在 Rt△BDE中,根据勾股定理得 BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为 42 m，根据时 间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去 4 即为张华用的时间， 再根据速度 =路程 ÷时间解之即可得出答案 . 2．平面上， Rt△ABC与直径为 CE的半圆 O 如图 1摆放， ∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半 圆 O 交 BC 边于点 D，将半圆 O 绕点 C 按逆时针方向旋转，点 D 随半圆 O 旋转且 ∠ ECD始 终等于 ∠ACB，旋转角记为 ≤ 1）8．0° 2）3）试判断：旋转过程中 的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明； 若 m=10，n=8，当旋转的角度 α恰为 ∠ ACB的大小时，求线段 BD 的长； 若 m=6，n= ，当半圆 O 旋转至与 △ABC 2） 3） 答案】 （1） 90； 2）解：如图 3 2）解：如图 3 中， ∵∠ ACB=∠ DCE ， ∴∠ ACE=∠ BCD ．∴ △ ACE∽△ BCD ，当 α=∠ ACB 时．在 Rt△ABC中，∵ ∵∠ ACB=∠ DCE ， ∴∠ ACE=∠ BCD ． ∴ △ ACE∽△ BCD ， 当 α=∠ ACB 时．在 Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB= =6．在 Rt△ABE 中， ∵AB=6 ， BE=BC﹣ CE=3 ， ∴AE= 2） 可 知 △ACE∽△ BCD， = =3 ， 由 ∴ BD= ．故答案为： CD=2 ， AB= （4）解： ∵ m=6， n= 中， =2， ① 如图 5 ． =2 BD= ② 如图 6 中， 当 α=90°∠+ACB 时，半圆与 BC相切，作 EM⊥AB 于 M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴ 四 边形 BCEM 是矩形， ∴ ，∴AM=5 ，AE= = ，由 2）可知 = ， ∴ BD= 故答案为： 2 或 解析】 【解答】（ 1） ① 如图 1 中， 当 α=0 时 ， 连 接 DE， 则 ∠CDE=9°0 ． ∵∠CDE=∠B=90°， ∴DE∥AB， ∴ = ．∵ BC=n， ∴CD= ．故答案为： 90°， n． 【分析】（ 1）连接 DE，当 α=0 时，由直径所对的圆周角时直角可得 ∠CDE=9°0 ，判断 DE∥AB，从而可得比例式进而求解。 （2）旋转过程中 B D： A E 的大小有无变化，可以看 B D， A E 所在的三角形相似，从而可 的△ ACE∽ △ BCD，进而得出结论。 （3）根据勾股定理求得 AB 和 AE，即可求出 BD。 （4）由题意分两种情况：当 α=90°时，半圆与 AC 相切。当 α=90°∠+ACB时，半圆与 BC相 切。 3．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点 P 是边 AC上不与点 A、C重合的一点， 作 PD∥BC交 AB 边于点 D. 1）如图 1，将 △APD沿直线 AB 翻折，得到 △APD，作 AE∥PD.求证： AE＝ ED； 2）将 △ APD绕点 A 顺时针旋转，得到 △ APD，点 P、D 的对应点分别为点 P、D， ① 如图 2，当点 D在△ ABC内部时，连接 P′C和 DB，求证： △ APC∽ △ADB； ② 如果 AP：PC＝5：1，连接 DD，且 DD＝ AD，那么请直接写出点