06高等数学(理工类)考研真题六至十二后附有各卷答案..docx

考研真题六 1. 设曲线 y ax2 ( a 0 , x 0) 与 y 1 x 2 交于点 A , 过坐标原点 O 和 点 A 的直线与曲线 y ax 2 围成一平面图形 . 问 a 为何值时 , 该图形绕 x 轴旋 转一周所得的旋转体体积最大 ? 最大体积是多少 ? 00数二考研题 2. 设 ( x) 是抛物线 y x 上任一点 M ( x, y ) ( x 1) 处的曲率半径 , s s( x) 是该抛物线上介于点 A( 1,1) 于 M 之间的弧长 , 计算 3 d3 d 2 的 ds 2 (ds ) 值 ( 在直角坐标系下曲率公式为 K y 3/ 2 ) . 01数二考研题 (1 y 2 ) 3. 填空 位于曲线 y xe x ( 0 x ) 下方 , x 轴上方的无界图形的面 积是 ( ) . 02数二考研题 4. 某闸门的形状与大小如图所示 , 其中直线 l D C 为对称轴 , 闸门的上部为矩形 ABCD , 下部由二次抛 物线与线段 AB 所围成 . 当水面与闸门的上端相平 A B l , 欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承 受的水压力之比为 5 : 4 , 闸门矩形部分的高 h 应为 多少 m ( 米) ? 02数二考研题 5. 设 D 1 是由抛物线 y 2 x 2 和直线 x a, x 2 y y 2x 2 及 y 0 所围成的平面区域 ; D 2 是由抛物线 y 2 x 2 和 直线 y 0 , x a 所围成的平面区域 , 其中 0 a 2 . D 1 D2 x (1) 试求 D 1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V1 ; O a2 D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 V2 ; (2) 试问 a 为何值时 V1 V2 取得最大值 ? 试求此最大值 . 02数三考研题 6. 过坐标原点作曲线 y ln x 的切线 , 该切线与曲线 y ln x 及 x 轴围成 平面图形 D . 03数一考研题 (1) 求 D 的面积 A ; . 17 .  (2) 求 D 绕 x e 直线旋转一周所得旋转体的体积 V . 7. 设曲线的极坐标方程为 ea ( a 0 ), 则该曲线上相应于 从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 ______ . 03数二考研题 某建筑工程打地基时 , 需用汽锤将桩打进土层 , 汽锤每次击打 , 都将克服土层对桩的阻力而作功 . 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度 成正比 (比例系数为 k , k 0), 汽锤第一次击打将桩打进地下 a m . 根据设计方 案 , 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数 r ( 0 r 2 ) . 问 03数一考研题 汽锤击打桩 3 次后 , 可将桩打进地下多深 ? (2) 若击打次数不限 , 汽锤至多能将桩打进地下多深 ? ( 注 : m 表示长度单位米 ) 设位于第一象限的曲线y f (x) 过点 (22 , 12 ), 其上任一点 P ( x , y ) 处的法线与 y 轴的交点为 Q , 且线段 PQ 被 x 轴平分 . 03数二考研题 求曲线 y f (x) 的方程 . (2) 已知曲线 y sin x 在 [ 0, ] 上的弧长为 l , 试用 l 表示曲线 y f (x ) 的 弧长 s . 10. ex e x x t ( t 0 ) 及 y 0 围成一曲边梯 曲线 y 与直线 x 0 , 2 形 . 该曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体 , 其体积为 V ( t ), 侧面积为 S( t ), 在 x t 处的底面积为 F ( t ). 04数二考研题 求 S( t ) 的值 ; V ( t ) (2) 计算极限 lim S( t ) . t F (t ) 11. 如图 , C1 和 C 2 分别是 y 1 (1 ex ) 和 y e x 的图象 , 过点 (0,1) 的 2 曲线 C3 是一单调增函数的图象 , 过 C 2 上任一点 M ( x , y) 分别作垂直于 x 轴 和 y 轴的直线 l x 和 l y . 记 C1 , C 2 与 l x 所围图形的面积为 S1 ( x ); C 2 , C 3 与 l y . 18 . 所围图形的面积为 S2 ( y ). 如果总有 S1 (x ) S 2 ( y), 求曲线 C 3 的方程 x( y). C 3 05数二考研题 y C2 l y M ( x, y) C 1 1 l x O 1 x x 12. 设 D 是位于曲线 y x a 2a ( a 1,