线性代数学习总结.docx

数学四 线 性 代 数 总 结 一、 行列式 1．n 行列式的概念 a11 a12 ?? a1n (1) n 行列式的 定 a21 a22 ?? a2n 有 n ^ 2 个数 成的 n 列式 D= ?????? 是一个算式，当 n=1 an1 an2 ?? ann la11l=a11 。当 n≥2 n D=a11A11 + a12A12 + ? + a1A1n= ∑a1j A1j j=1 其中 A1j=( -1 ) ^ 1+ j M1j ， a1j 的代数余子式。 a21? a2j-1 a2j+1 ? a2n a31? a3j-1 a3j+1 ? a3n M1j = ???????? an1? anj-2 an j+1 ? ann  a1j 的余子式。 n 行列式的逆序定 a11 a12 ?? a1n a21 a22 ?? a2n ∑ ( -1 )^ σ ( i 1,i2 ? in ) a1i1 a2i2 ? anin = ?????? an1 an2 ?? ann （ i1,i2? i n） 2．行列式的性 性 一 行列式的行和列互 后，行列式的 不 。 性 二 行列式的两行（或两列）互 ，行列式改 符号。 推 如果行列式中有两行（或列）的 元素相同， 此行列式 零。 性 三 用数 k 乘以行列式的一行（列），等于以数 k 乘以此行列式。 推 如果行列式某行（列）的所有元素的公因子， 公因子可以提到行 列式外面。 推 如果行列式有两行（或两列）的 元素成比列， 行列式等于零。 推 如果行列式中以行（或一列）全 零， 行列式的 必 零。 性 四 如果行列式中的某行 （或某列） 均 两 之和， 行列式等于两个行列 式之和。 推 如果将行列式某一行（或某一列）的每一个元素都写成 M（M≥ 2）个元素 的和， 此行列式可以写成 M个行列式的和。 性 五 将行列式的某一行（列）的每一个元素同乘以数 k 后加于另一行（列） 位置的元素上，行列式的 不 。 性 六 如果行列式中某行（或列）中各元素是其余各行（或各列）分 乘一常 数后各 元素之和， 行列式的 零。 性 七 行列式的任何一行（或列）的元素于另一行（或列）的 元素的代数 余子式的乘 之和必 零。 a i1Aj1 + ai2Aj2 + ? + a1nAjn = 0 ( i ≠j ) 3．拉普拉斯展开式 行列式按 k 行（或列）展开， c D = ∑ MiAi ( Mi k 子式， Ai k 代数余子式 ) i=1 4． 利用拉普拉斯展开式的两种特殊情况 a11 ? a1n 0 ? 0 ?????????? a11 ? a1n b11 ? b1n an1 ? ann 0 = ???? ????? ? 0 c11 ? c1n b11 ? b1n an1 ? ann bm1 ? bmn ?????????? cm1 ? cmn bm1 ? bmn 0 ? 0 a11 ? a1n ?????????? =（ -1 ） ^(mn) a11 ? a1n b11 ? b1n 0 ? 0 a n1 ? ann ????? ????? c11 ? c1n b11 ? b1n an1 ? ann bm1 ? bmn ?????????? cm1? cmn bm1 ? bmn 5． 重要公式及 (1) 如果 A,B 均 n 矩 ， lABl = lAllBl ，但 AB≠BA。 如果 A,B 均 n 矩 ， lA ±Bl ≠ lAl ±lBl 。 (3) 如果 A n 矩 ， lkAl = k^n lAl。 (4) 如果 A n 矩 ， lAl = lA ′l (5) 如果 A n 可逆矩 ， lA ˉ l =1 / lAl ；lk A ˉ l =k^n / lAl 。 (6) 如果 A* A 的伴随矩 ， lA*l = lAl^(n-1) lAl （ i = j ） 如果 A n 矩 , a a i2Aj2 + ? + a (7) i1Aj1 + 1nAjn = A C A O O A 0 （ i ≠ j ） = lAl lBl； = lAl lBl = ） ^(mn) lAl (8) O B C B ； （ -1 B O lBl A B C =（ -1 ） ^(mn) lAl lBl 。 (9) a11 X a11 O a22 a22 = = O ann X ann =a11 a22 ? ann 。 O a1n = O a1n = a2n-1 a2n-1 an1 O an1 X a a ?