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原创数学题集锦 涉及领域：数学 长治一中 401班 刘浩男 一、选择题 1、若x∈R，则下列命题中真命题的个数为 （ ） ①若x≠1或x≠-1，则x2≠1 ⑤若x≠1或x≠-1，则x2≠-1②若x≠1且x≠-1，则x2≠1 ⑥若x≠1且x≠-1，则x2≠-1③若x≠±1或x≠0，则x2≠1 ⑦若x≠±1或x≠0，则x2≠-1④若x≠±1且x≠0，则x2≠1 ⑧若x≠±1且x≠0，则x2≠-1 A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 解析：命题①中“若x≠1或x≠-1”表示的范围为R，故命题①错误；同理，命题③错误；命题②显然正确；命题④中，在R中只需将x=±1去掉即可保证x2≠1，再去掉个x=0显然仍然能保证x2≠1，故命题④正确；在R范围内，无论x为多少，始终能保证x2≠-1，故无论在R上怎样缩小范围都一定能保证x2≠-1，故命题⑤⑥⑦⑧均正确。提示：若用逆否命题来解决命题⑤⑥⑦⑧的话，一定要注意题中x∈R这个条件，否则会得出错误结论，例如，命题⑤的逆否命题为若x2=-1，则x=1且x=-1或xR，故命题⑤正确。综上所述，上述命题中是真命题的序号为②④⑤⑥⑦⑧，一共6个，选项D正确。 2、已知A、B两个集合，若（A∪CRB）∩（B∪CRA）=｛xx=2｝，则下列哪个选项是它的充要条件 （ ） A、（A∩CRB）∪（B∩CRA）=｛xx≠2｝ B、（A∪CRB）∪（B∪CRA）=｛xx=2｝ C、（A∩CRB）∩（B∩CRA）=｛xx≠2｝ D、（A∩CRB）∩（B∩CRA）=｛xx=2｝ 解析：利用性质CR（A∩B）=（CRA）∪（CRB）， CR（A∪B）=（CRA）∩（CRB）， CR（CRA）=A 化简原集合得： （A∪CRB）∩（B∪CRA） =CR（CRA∩B）∩CR（CRB∩A） = CR[（CRA∩B）∪（CRB∩A）] = CR[（A∩CRB）∪（B∩CRA）] ∴（A∪CRB）∩（B∪CRA）=｛xx=2｝的充要条件为： （A∩CRB）∪（B∩CRA）=｛xx≠2｝ ， 选项A正确。 二、填空题 3、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，数列｛｝的前n项和也为Sn，则下列说法中正确的有 ①a1≤0 ③S1+S2+S3+……+Sn=an ②d≥0 ④（Sn）n=nn（a1a2a3…an） 解析：∵数列｛an｝为等差数列 ∴y=an为一次函数 ∴y=Sn为二次函数 又∵y=也为一次函数，且其前n项和也为Sn ∴an= 不妨设an=a1+（n-1）d ， 变形得：an=dn+（a1-d） ∴Sn=n2+（a1-）n ∴=n+（a1-） 又∵an= ∴dn+（a1-d）=n+（a1-） 解之得：d=0，a1∈R ∵0≥0 ∴d≥0 ， ①错误②正确。 即可证明｛an｝为常数列 ∴③S1+S2+S3+……+Sn=an+2an+3an+……+nan=an ， ③正确 ∴Sn=nan 即（Sn）n=nn（an）n=nn（a1a2a3…an） ， ④正确 故正确答案为②③④ 4、在数列｛an｝中，定义以下两种新运算： （1）ap*aq=apaq+ap+1aq-1+ap+2 aq-2+……+ap+kaq-k+……+aqap（p，q,k均为正整数，且q≥p,0≤k≤q-p） （例如：a2*a4=a2 a4+a3 a3+a4 a2 ，a3*a6=a3 a6+a4 a5+a5 a4+a6 a3） （2）apaq= 若数列｛an｝的前n项和满足S1=1 ，S2=3 ，Sn+1-2Sn +Sn-1=1 （n≥2） ，数列｛bn｝的通项公式为bn=a1an ，则b120= 解析：解法一：累加法 根据S1=1 ，S2=3得：a1=1 ，a2=2 ，根据Sn+1-2Sn +Sn-1=1得：（Sn+1-Sn ）-（Sn -Sn-1）=1 ，即：an+1-an=1（n≥2） ∴an=n ∴a1*an=1×n+2（n-1）+3（n-2）+……+n×1 另cn=a1*an=1×n+2（n-1）+3（n-2）+……+n×1 ① ∴cn-1=1（n-1）+2（n-2）+3（n-3）+……+（n-1）×1 ② ①-②得：cn-cn-1=n+（n-1）+（n-2）+……+1== ③ 根据③式得：cn-1-cn-2= ，cn-2-cn-3= ， cn-