高中数学_平面向量数量积的物理背景及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思.doc

PAGE 1 《平面向量数量积的物理背景及其几何意义》教学设计 教学过程设计： 活动一：创设问题情景，引出新课 1、提出问题1：请同学们回顾一下，向量的夹角是如何定义的？ 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？ 答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算。导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义 ［设计意图］：1.明白新旧知识的联系性。2.明确研究向量的数量积这种运算的途径。 活动二：探究数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题3： （1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。 （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量，②F（力）是 量， ③S（位移）是 量，④α是 。 （3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 （4）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？ 答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 2、明晰数量积的定义 数量积的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量︱︱·︱︱cosθ叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cosθ （2）定义说明： ①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。 ［设计意图］：1.认识向量的数量积的实际背景。2.使学生在形式上认识数量积的定义。3.从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白为什么研究这种运算,从而产生强烈的求知欲望 3、提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 4、学生讨论，并完成下表： θ的范围 0°≤θ90° θ=90° 90°θ≤180° ·的符号 ［设计意图］：引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。 5、研究数量积的几何意义 （1）给出向量投影的概念： 如图，我们把││cosθ（││cosθ） 叫做向量在方向上（在方向上）的投影， 记做：OB1=││cosθ （2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影︱︱cosθ的乘积。 ［设计意图］：这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识 活动三：探究数量积的运算性质 1、提出问题6： （1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ （2）比较︱·︱与︱︱︱︱的大小，你有什么结论？ 2、请证明上述结论。 3、明晰：数量积的性质 ［设计意图］： ［设计意图］：将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。 活动四：探究数量积的运算律 1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 答:①交换律：ab=ba ②结合律：(ab)c=a(bc) ③分配律：(a+b)c=ac+bc 猜想：·= · ② （·）= (·) ③（ + ）· =· + · 2、分析猜想： 猜想①的正确性是显而易见的。 关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。 ［设计意图］：要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律。通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性。 3、明晰：数量积的运算律： 已知向量 已知向量、 、和实数λ，则： （1）·= · （2）（λ）·=λ（·)= ·（λ） （3）（ + ）·=· + · 4、学生活动：证明运算律2 在证明时，学生可能只考虑到λ0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ0时，向量与λ，与λ的方向的关系如何？此时，向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗？ 5、师生活动：证明运算律（3） ［设计意图］：学会利用定义证明运算律（1）(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成。 活动五：应用与提高 1、学生独立完成：已知︱︱=5,︱︱=4, 与的