2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案：2.3等比数列名师导航学案高品质版.docx

2.3 等比数列 知识梳理 等比数列的有关概念 (1) 一般地 , 如果一个数列从第二项起 , 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 , 这个数列 就叫做等比数列 , 表示为 an 1 =q(n ≥1)(q ≠0). an 若三个数 a,G,b 满足 G2=ab, 则 G叫做 a,b 的等比中项 . 等比数列的通项公式 an=a1qn-1. 等比数列的前 n 项和公式 等比数列的性质 若 m+n=p+q(m,n,p,q 都是正整数 ), 则 am·an=ap·aq. 在有穷等比数列中 , 与首末两项等距离的两项的积都相等 , 且等于首末两项的积 .a 1an=a2an-1 =a3an-2 = =al ·an-l+1 . (2) 当 q＞ 1 时, 如果存在一项 a＞ 0( 或＜ 0), 那么等比数列中的数随项数的增大而增大 ( 或减 少). 当 0＜ q＜ 1 时 , 如果存在一项 a＞ 0( 或＜ 0), 那么等比数列中的数随项数的增大而减少 ( 或增大 ). 当 q=1 时 , 等比数列中的数等于同一个常数 . 当 q＜ 0 时 , 等比数列中的数不具有单 调性 . (3) 如果数列 {a n} 是等比数列 , 那么数列 {c ·an}(c 为常数 ),{a n-1 } 、{|a n|} 也是等比数列 , 且其 中{c ·a } 的公比不变 ,{a -1 } 的公比等于原公比的倒数 ,{|a |} 的公比等于原公比的绝对值. n n n 另外若有 m个等比数列 , 它们的各对应项之积组成一个新的等比数列. 知识导学 等比数列与等差数列有很多类似的性质 , 所以在学习的时候应该把等比数列和等差数列 进行类比 , 从定义到通项公式、 前 n 项和公式、 性质以及解决问题的思路都要进行比较 . 通过 复习等差数列的定义和性质去学习理解等比数列的定义和性质 , 在学习中注意理解等差数列 中的“差是一个常数”与等比数列中的“比是一个常数” . 并在学习本节知识前复习指数函 数 y=ax(a ＞0 且 a≠1) 的图象等有关知识 , 类比等差数列的通项公式与一次函数的关系来理 解等比数列与指数函数的关系 . 学习的时候应注意区分它们的不同之处. 疑难突破 等比数列概念的理解 . 一般地 , 如果一个数列从第 2 项起 , 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 , 那么这个 数列就叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的公比 , 公比通常用字母 q 表示 . 要注意理解 “公比 q≠0”, 等比数列的首项不为 0, 等比数列的每一项都不为 0, 即 an≠0; 另外 , 强调“从 第 2 项起” , 是为了保证每一项的前一项存在, 公比的基本特征是“同一常数” , 如果漏掉了 “同一”两字 , 就会破坏等比数列中各项的共同性质. 等比数列前ｎ项和的推导利用了错位相减法, 如何理解这一方法 ? 错位相减法求数列和的实质是把等式两边同乘以等比数列的公比 q, 得一新的等式 , 错 位相减求出 Sn-qS n, 这样可以消去大量的“中间项” , 从而能求出 Sn. 当 q=1 时 ,S n=na1; 当 q≠1 n 时,S n= a1 a1q . 这是分段函数的形式 , 分段的界限是 q=1. 1 q 对于形如 {x n·yn} 的数列的和 , 其中 {x n} 为等差数列 ,{y n} 为等比数列 , 也可以这样求和 : 错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题 . 利用这种方法时 , 要注意到公式及其他应用问题对公比的分类讨论 . 若已知  q≠1, 求等比数 列前 n 项和的方法一般是利用 Sn 的表达式的特点 ; 当 q=1 时 , 求和就简单多了 , 这时数列的每一项都相等 , 直接将这 n 个相等的数相加即可得 . 随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足； 越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的 人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况 味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳 随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象