2017-2018学年高中数学人教B版必修5学案：3.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质学案高品质版.docx

3.1.2 不等式的性质 1．掌握不等式的性质． 2．能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较，解不等式 ( 组 ) 和不等式证明． 不等式的性质 对称性： a＞b? ______. 传递性： a＞b， b＞ c? ______. 加法法则： a＞ b? ________. 推论 1 a＋ b＞c? a＞ ______； 推论 2 a＞ b，c＞ d? a＋c＞ ______. (4) 乘法法则： ＞ ， ＞0? ______； ＞ ， ＜ 0? ______. a b c a b c 推论 1 a＞ b＞0， c＞ d＞0? ______； 推论 2 a＞ b＞0? n n ； a ＞ b ( n∈N＋ ， n＞ 1) 推论 3 a＞ b＞0? n n ＋ ． a＞ b( n∈ N ， n＞ 1) 在不等式的基本性质中， 乘法法则的应用最易出错， 即在不等式的两边同乘 ( 除以 ) 一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【做一做 1】已知 a＞ b，则下列各式中正确的个数是 ( ) ． ac＜bc；② ac＞ bc；③ ( a－ b) c＞ 0. A．0 B．1 C．2 D．3 【做一做 2】已知 a＞ b，c＞ d， e＞ 0，则 a＋ ce______b＋ de( 填“＞”或“＜” ) ． 【做一做 3】已知 ＞ ＞0， ＜ 0，则 c________c( 填“＞”或“＜” ) ． a bc a b 一、不等式的性质的应用误区 剖析：使用不等式的性质时， 一定要注意它们成立的前提条件， 不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如： a＞b， c＞ d? a＋ c＞ b＋ d，已知的两个不等式必须是同向不等式； a＞b＞ 0，且 c＞ d＞ 0? ac＞ bd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两边必须为正值； a＞b＞ 0? an＞bn( n∈ N＋ ， n＞ 1) 及 a＞ b＞ 0? n a＞ n b( n∈ N＋， n＞1) ，成立的条件 是已知不等式的两边为正值，并且 n∈N＋ ，n＞ 1，否则结论就不成立．假设去掉 b＞ 0 这个 2 2 的错误结论；又若去掉了“ ＋ ， n 条件，取 a＝ 3， b＝－ 4， n＝2，就会出现 3 ＞ ( － 4) n∈ N ＞1”这个条件，取 a＝ 3， b＝ 2， n＝－ 1，又会出现 3－ 1＞ 2－1，即 1＞1的错误结论． 3 2 对于性质 4 的推论 2 和推论 3，在 n 取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有： a b? an＞ bn( n＝2k＋ 1， k∈ N) ， a＞b? n a＞ n b( n＝ 2k＋ 1， k∈ N) ． 性质中的 a 和 b 可以是实数，也可以是代数式． 性质 3 是不等式移项法则的基础． 性质 3 的推论 2 是同向不等式相加法则的依据． (4)若＞ b 且 1 1 a ＞ ，且 1 1 ＞0，则＜ .若 ＜0，则 ＞ ，即“同号取倒数，方向改 a ab a b b ab a b 变，异号取倒数，方向不变”． 若 a＞ b， c＜ d，则 a－ c＞ b－d. b 若 a＞ b＞ 0， c＞ d＞ 0，则 d＞ c. 二、教材中的“？” 在解一元一次不等式 3x－2≤5x＋1 的过程中，应用了不等式的哪些性质？ 剖析： 不等式的解  运用性质 3x－2≤5x＋ 1 － 2x≤3 2x≥－ 3  移项：性质 3 的推论 同乘－ 1：性质 4  1 x≥－  3 2  1 同乘 ：性质 2  4 题型一 判断真假 【例 1】下列命题中，一定正确的是 ( ) ． 1 1 A．若 a＞ b，且 a＞ b，则 a＞ 0， b＜0 a B．若 a＞ b， b≠0，则 b＞1 C．若 a＞ b，且 a＋ c＞ b＋ d，则 c＞ d D．若 a＞ b，且 ac＞ bd，则 c＞ d 反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时， 要注意不等式性质成立的条件， 不能弱化条件， 尤其是不能凭想当然随意捏造性质， 解有关不等式的选择题时， 也可采用特殊值 法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则： 一是满足题设条件； 二是取值要简单，便于验证计算． 题型二 应用不等式的性质证明不等式 【例 2】已知 ， b a b a ＋ b . 为正实数，求证： ＋ ≥ a b a 分析：针对题目特点，可考虑两种方法：一种是直接进行作差比较，按步骤进行，变形 这一步最为关键， 不管用何种方法变形， 一定要向有利于判定差的符号的方向进行， 另一种是先平方，再根据两式特点变形比较大小． 反思：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法，其步骤为：作差 ( 或 n 次方作差)