2017-2018学年高中数学必修4学案全集(25份,解析版)北师大版13(汇教案).docx

平面向量基本定理 ．了解平面向量基本定理及其意义． (重点 ) ．能应用平面向量基本定理解决一些实际问题． (难点 ) [基础 ·初探 ] 教材整理 平面向量基本定理 阅读教材～ “例”以上部分，完成下列问题． 如果， (如图－－① )是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，存在唯一一对实数 λ，λ，使＝ λ＋λ(如图－－② )，其中不共线的向量，叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 图－－ 判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) ()平面向量的一组基底，中可以有一个向量为零向量． ( ) ()任意两个向量都可以作为基底． ( ) ()平面向量的基底不是唯一的． ( ) ()零向量不可作为基底中的向量． ( ) 【解析】 ()×，因为零向量与任何向量均共线． ()×，两不共线的向量才可作为平面的一组基底． ()()均正确． 【答案】 ()× ()× ()√ ()√ [质疑 ·手记 ] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑： 疑问： 解惑： [小组合作型 ] 平面向量基本定理的理 解 如果，是平面 α内所有向量的一组基底， λ， μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由． ()若 λ，μ满足 λ＋ μ＝，则 λ＝μ＝； ()对于平面 α内任意一个向量，使得＝ λ＋ μ成立的实数 λ，μ有无数对； ()线性组合 λ＋μ可以表示平面 α内的所有向量； ()当 λ，μ取不同的值时，向量 λ＋μ可能表示同一向量． 【精彩点拨】 根据平面向量基本定理的内容来判断． 【自主解答】 ()正确．若 λ≠，则＝－，从而向量，共线，这与，不共线相矛盾，同理可说明 μ＝. ()不正确．由平面向量基本定理可知 λ， μ唯一确定． ()正确．平面 α内的任一向量可表示成 λ＋μ的形式，反之也成立． ()不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，当 λ和 μ确定后，其和向量 λ＋μ便唯一确定． ．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示； 反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式． ．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上，若，是基底，则必有≠， ≠，且与不共线，如与，与，＋与 (＋ )等均不能构成基底． [再练一题 ] ．设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①与＋；②－与－；③－与－；④＋与－ .其中，不能作为平面内所有向量 的一组基底的序号是． (写出所有满足条件的序号 ) 【解析】 ①中，设＋＝ λ，则 (\\( λ＝，＝， )) ∴＋与不共线，即与＋可作为一组基底； ②中，设－＝ λ(－)， 则(＋λ)－(＋λ)＝，则 (\\( ＋λ＝，＋ λ＝， )) ∴－与－不共线，即－与－可作为一组基底； ③中，∵－＝－ (－)， ∴－与－共线，即－与－不可作为一组基底； ④设＋＝ λ(－)，则 (－λ)＋ (＋λ)＝， ∴(\\(－λ＝，＋ λ＝， )) 无解． ∴＋与－不共线，即＋与－可作为一组基底． 【答案】 ③  无解， 无解， 运用基底表示向 量 如图－－，梯形中，∥，且＝，，分别是和的中点，若＝，＝，试用， 表示，， . 图－－ 【精彩点拨】利用三角形法则或平行四边形法则， 寻找所求向量与， 的关系． 【自主解答】 如图所示，连接，则四边形是平行四边形． 则＝＝＝； ＝－＝－＝－； ＝－＝－－ ＝－－＝－ . 利用基底表示未知向量， 实质就是利用向量的加法、 减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时， 要仔细分析所给图形， 借助于平面几何知识的向量共线定理及平面向量基本定理解决． [再练一题 ] ．如图－－，在 ?中，，分别为，的中点，已知＝，＝，试用，表示和 . 图－－ 【解】设＝，＝，则由，分别为，的中点可得：＝，＝，＋＝，即＋＝ .① ＋＝，即＋＝ .② 由①②可得＝ (－)，＝ (－)， 即＝ (－)，＝ (－)． [探究共研型 ] 平面向量基本定理应 用 探究 如果，是两个不共线的确定向量，则与，在同一平面内的任一向量，能否用，表示？依据是什么？ 【提示】 能．依据是数乘向量和平行四边形法则． 探究 如果，是共线向量，那么向量能否用，表示？为什么？ 【提示】 不一定．当与共线时可以表示，否则不能表示． 探究 基底给定时，向量分解形式唯一吗？ 【提示】 向量分解形式唯一． 如图－－，在平行四边形中，是的中点，与交于，求证：为线段的 三等分点． 图－－ 【精彩点拨】 要证为线段的三等分点， 只需证＝，可设＝ μ.选取，作为基底，通过＋＝，建立相应的方程组，并进行运算，求出 μ＝即可． 【自主解答】 设＝，＝，则 ＝－＝－， ＝＋＝＋＝＋ . 因为，，与，，分别共线，所以存在实数 λ，μ∈，使＝ λ，＝ μ. 于