2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章§1从平面向量到空间向量含答案.docx

学习目标 间向量的夹角  1.理解空间向量的概念 .2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念 .4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念 .  .3.理解空 知识点一 思考 1  空间向量的概念 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念  . 思考 2 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？ 梳理 空间向量的有关概念 定义：在空间中，把既有 ______又有 ______的量，叫作空间向量 . 长度：空间向量的大小叫作向量的______或 ____. ① 几何表示法：空间向量用 表示 . ② 字母表示法：用字母表示，若向量 a的 (3) 表示法 起点是 A，终点是 B，则向量 a也可以 → 或 . 记作 AB，其模记为 (4) 自由向量：与向量的起点无关的向量. 知识点二 空间向量的夹角 思考 在平面内，若非零向量 a 与 b 共线，则它们的夹角是多少？ 梳理 空间向量的夹角 → → (1) 文字叙述： a，b 是空间中两个非零向量， 过空间任意一点 O，作 OA＝ a，OB＝ b，则________ 叫作向量 a 与向量 b 的夹角，记作 ______________. 图形表示： 角度 表示 a， b〉＝ ____ a， b〉是 ____ a， b〉是 ____ a， b〉是 ____ a， b〉＝ ____ 范围： ____≤〈 a， b〉≤ ____. 空间向量的垂直：如果〈 a， b〉＝ ______，那么称 a 与 b 互相垂直，记作 ________. 知识点三 向量与直线、平面 1.向量与直线 与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向 .如图所示 . → → l 是空间一直线， A， B 是直线 l 上任意两点，则称 AB为直线 l 的 ______向量，显然，与 AB平 行的任意非零向量 a 也是直线 l 的方向向量，直线的方向向量 ______于该直线 . 2.向量与平面 如图，如果直线 l 垂直于平面 α，那么把直线 l 的方向向量 a 叫作平面 α的 ________. 类型一 有关空间向量的概念的理解 例 1 给出以下结论： ①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量 a， b 满足 |a|＝ |b|，则 a ＝ b；③在正方体 → → m， n， p 满足 m＝ n， ABCD － A1B1C1D1 中，必有 AC＝ A1 C1；④若空间向量 n＝ p，则 m＝ p.其中不正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全 一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等 .两向量互为相反向量的充要条 件是大小相等，方向相反 . 跟踪训练 1 → →→→ (1) 在平行六面体 ABCD —A1B1C1D1 中，下列四对向量： ①AB与 C1D 1；② AC1与 BD1； → → →→ n 对，则 n 等于 ( ) ③ AD1与 C1B；④ A1D与 B1C.其中互为相反向量的有 A.1 B.2 C.3 D.4 如图，在长方体 ABCD －A′ B′ C′D ′中， AB＝ 3，AD ＝ 2，AA′＝ 1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量； → ③试写出与向量 AB相等的所有向量； → ④试写出向量 AA′ 的所有相反向量 . 类型二 求空间向量的夹角 例 2 如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D 1 中，求下列各对向量的夹角： → → (1)〈AB ，A1C1〉； → → (2)〈AB ，C1A1〉； → → (3)〈AB ，A1D 1〉 . 引申探究 → → 在本例中，求〈 AB1， DA1〉 . 反思与感悟 求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化 为平面向量的夹角，要注意向量方向 . 跟踪训练 2 在正四面体 → → ABCD 中，〈 AB， CD 〉的大小为 () π  π A. 4  B. 3 π  π C.2  D. 6 类型三 直线的方向向量与平面法向量的理解 例 3 已知正四面体 A－BCD . → (1) 过点 A 作出方向向量为 BC的空间直线； (2) 过点 A 作出平面 BCD 的一个法向量 . 反思与感悟 直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它 们互相平行 . 给定空间中任意一点 A 和非零向量 a，可以确定： (1) 唯一一条过点 A 且平行于向量 a 的直线； 唯一一个过点 A 且垂直于向量 a 的平面 . 跟踪训练 3