数学系第三学期数学分析期末考试题及答案.docxVIP

第三学期《数学分析》期末试题 一、 选择题：（15分，每小题3分）1、累次极限存在是重极限存在的（A充分条件 B 必要条件:f （x, y））C充分必要条件D 无关条件2、 一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ A充分条件 B 必要条件 :f （x, y） ） C充分必要条件 D 无关条件 2、 .X |(X0,y0) AHm f(x0 7」) — -f(X0 , y0) ； B lim 似0)； .X-D Clim f(X0 ”f(X0 S。) .J0 D lim f(X0 F-f)。 — 3、函数f（x,y）在（ A f（X,y）在（X0,,y。） C f（X,y）在（X0,,y。） X0,,y°）可偏导，则（D ） 可微 ； B f（x,y）在（x°,,y0）连续； 在任何方向的方向导数均存在 ； D以上全不对。 4、f (x, y)= x2 2 2 y2 （x-y）2的二重极限和二次极限各为（ B、不存在, 0, 0,; 0，不存在，0； D、0， 0，不存在。 y CZ CZ 5、设 z=e ，贝V x y - ex cy D、2。A、0 ； B、1 ； C D、2。 二、计算题（50分，每小题10 分） 1、xy2y0证明函数 1、 xy 2 y 0 证明函数f(x,y) = Jx2 + x2 y2 -0 （0，0）点连续且可偏导, x2 y 2、计算C 2、 计算C 的光滑曲线； 4、 c^cosydx-sinydy），其中c是任一条以为a（°q）起点、B（a,b）为终点 但它在该点不可微; X X f (x) ： 11 e~ d dt,求f (x), f (x) 设 0t f；SL0 3、设有隐函数 z z ，其中F的偏导数连续，求:X 3、 fUdS z z —X2+y2 z# 5、计算… ，其中为z —x y在 4 5、 三、验证或解答（满分 24分，每小题8分） x x x x x x x x x x 1 1、验证曲线积分 l （y z）dx （z x）dy （x y）dz与路线无关，并求被积表达式的 原函数; 2、说明对任意 2、说明对任意 均一致收敛; ■be 2 0, Fntdx关于t (0,：：) 0 3、验证函数 [2xy ,x2 y2 =0 ,x2 y2 =0 I 0 在原点（0, 0）分别对每个自变数x或y （另一个看作常数）都连续，但是二元函数在原点（0, 0）却不连续 x + y + z =0 四、（11分）求由方程组jX’+y—z—10确定的隐函数y = y（x）, z = z（x）在点P（1,1，—2） 处的一阶导数。 部分题目参考答案: 1、证明:。勻^— 1、证明: 。勻^—1两（4 分）（x,y^0,0） / 2xy 2 =0 所以函数在（°，°） x y x y fx（0,0）, fy（0,0）存在切等于0，（ 4分）但 点连续，（3分）又叽土二。， lim 7 2不存在，故函数在（0，0）点不可微（3 分） （.x,.y）「（0,0） Ax2 川’/；,y2 、2、解 2 y2 由于 f(x) = ( e— d )dt, f (x) ( e— d .)xdt 0-0 二 e」dt 二 xe,所以 f(x)=：efdtx-t2」/ 丄2、 1 -j xe,所 以 f(x)=：efdt x -t2」/ 丄2、 1 -j」2 2 * e」d(-t2)八驴 2o 2 二、3、 ［解法 1] 由隐函数、复合函数求导法 ；z :x Fi丄 z zFi ；z F2丄 z zF2 Fi心•巳二 一 xFi yF2 i z z2 ［解法2］利用全微分,将隐函数方程两边取全微分， ［解法 F；d △ F2d 丄=0 f； F2 z^^ = 0 z2\.zj lz 丿 z z2 zF|dx + zF2dy dz zF, cz zF2 dz 二 xF1 +yF2 ，故 釵 xF1 + yF2 cy xR + yF? 由此可见，用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径. 沢込 TOC \o 1-5 \h \z x x x 二、4、 解 令 X =e cosy，Y = _e sin y，贝y £x = cy = —e sin y,故被 积表达式『(cosydx-sinxdy) —定有原函数，注意到 d (ex cos y) =ex(cos yd^sin xdy) 知 X X u(x,y) = e cosy 是eQosydx-sinxdy)的一个原函数，故由定理 21.13，有[eTcosydx-si nydy)= excosy| 霭 =eacos^1. 亍 0 Dxy ”(x,y)x2 + y2 计2” 二、5、解 曲面 在x0y平面上的投影区域^ 2 ，而