高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题.docxVIP

Word Word资料. 函数专题之值域与最值问题 一•观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域 . 例1:求函数y 3 . (2 3x)的值域• 点拨：根据算术平根的性质，先求出•, (2一3x)的值域• 解：由算术平根的性质，知 3x) 0,故3+.. (2一3x) 3。二函数的值域为[3,). 点评：算术平根具有双重非负性，即：(1)被开数的非负性，(2)值的非负性。本题通过直接观 察算 术平根的性质而获解，这种法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0 x5)的值域。(答案：值域为：｛0，1, 2，3, 4，5｝) 二•反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域 . 例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1 - 2y)/ (y—1)，其定义域为科半1的实数， 故函数y的值域为｛ y I y丰1,y€ R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x — 10-x)的值域。(答案：函数的值域为｛ y I y — 1或y1 ｝ 三•配法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时 ，可以利用配法求函数值域. 例3:求函数y= V(— x2+x+2)的值域. 点拨：将被开数配成完全平数，利用二次函数的最值求。 解：由—X2+X+2 0,可知函数的定义域为x€ [— 1，2]。 此时—x2+x+2= —( x— 1/2 ) 2+ 9/4 € [0，9/4] ••• 0 V— x2+x+2 3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用 ，而且要特别注意定义域对值域的制约作用 配法是数学的一种重要的思想法。 练习：求函数y=2x — 5+V15-4x的值域.(答案:值域为{y I y 3}) 判别式法:若可化为关于某变量的二次程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。 例 4:求函数 y=(2x2 — 2x+3)/(x2 — x+1)的值域. 点拨：将原函数转化为自变量的二次程，应用二次程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为(y-2) x2 — (y— 2)x+(y-3)=0 (*)当 沪2 时, 由△ =(y — 2)2 — 4 (y—2) x+(y — 3)》0, 解得：2 vx 10/3当y=2时，程严)无解。二函数的值域为2 vy 10/3。 点评：把函数关系化为二次程 F(x,y)=O,由于程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的 值域。 常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b ±V(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2 — 3x+1)的值域。(答案：值域为yw— 8或y0)。 最值法：对于闭区间［a,b］上的连续函数 y=f(x),可求出y=f(x)在区间［a,b］的极值，并与边界值 f(a).f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y的值域。 例 5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1) w 0,且满足 x+y=1,求函数 z=xy+3x 的值域. 点拨：根据已知条件求出自变量 x的取值围，将目标函数消元、配，可求出函数的值域。 解：••• 3x2+x+1 0上述分式不等式与不等式 2x2-x-3 w 0同解，解之得—1w x 3/2，又x+y=1， 将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(-1 wxw3/2), a z=-(x-2)2+4 且 x€ ［-1,3/2］, 函数z在区间［-1,3/2］上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z= — 5;当x=3/2时，z=15/4 a函数z的值域为{ z I— 5w zw 15/4} o 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值， 也可通过求出最值而获得函数的值域。 练习：若Vx为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为( ) A. (―x,+x) B. [ — 7,+x] c. [0,+x) D. [ — 5,+x)(答案：D)。 六•图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的法得到函数的值域 . 例6求函数y= I x+1 I + V(x-2)2的值域. 点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 解：原函数化为一2x+1(x 1) y=3(-1x 2) 2x-1(x2) 它的图象如图所示。 显然函数值y》3,所以，函数值域[3,